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【转载】电梯中的行程问题  

2014-07-26 23:38:42|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自数学老师《电梯中的行程问题》

        电梯中的行程问题

【概念精析】

          与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题,与行船问题类似的,自动扶梯的速度有以下两条关系式:

  与流水行船不同的是,自动扶梯上的行走速度有两种度量,一种是"单位时间运动了多少米",一种是"单位时间走了多少级台阶",这两种速度看似形同,实则不等,拿流水行程问题作比较,"单位时间运动了多少米"对应的是流水行程问题中的"船只顺(逆)水速度",而"单位时间走了多少级台阶"对应的是"船只静水速度",一般奥数题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度,即"单位时间走了多少级台阶",所以处理数量关系的时候要非常小心,理清了各种数量关系,自动扶梯上的行程问题会变得非常简单.

【例题精讲】

例1.甲步行上楼梯的速度是乙的2倍,一层到二层有一上行滚梯(自动扶梯)正在运行。二人从滚梯步行上楼,结果甲步行了10级到达楼上,乙步行了6级到达楼上。这个滚梯共有多少级?

解答:甲步行了10级,乙步行了6级,甲的时间为10÷2=5,乙的时间为6÷1=6.在甲步行的时间里滚梯运行了x级,在乙步行的时间里滚梯运行了1.2x级,可以列式为:10+x=6+1.2x,解得x=20,所以滚梯有10+20=30级。

 

例2.在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯。小强想逆行从上到下,如果每秒向下迈两级台阶,那么他走过100级台阶后到达站台;如果每秒向下迈三级台阶,那么走过75级台阶到达站台。自动扶梯有多少级台阶?

解答:每秒向下迈2级台阶,走100级台阶的时间为100÷2=50,每秒迈3级台阶,走75级台阶时间为75÷3=25,自动扶梯分别上行了2x级和x级,列式为100-2x=75-x,解得x=25级,自动扶梯有50级。

 

(北京市迎春杯试题)例3.小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼,如果他一级一级的走下去,从扶梯的上端走到下端需要走36级。如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦,不要效仿!),需要用下楼时5倍的速度走60级才能走到上端。请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级?

解答:从上往下走36级用的时间为36÷1=36,从下往上走60级用的时间为60÷5=12,时间的关系为3:1,列式为36+3x=60-x,解得x=6,所以自动扶梯在静止不动时有36+18=54级。

 

例4.商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子在行驶的扶梯上上下走动,女孩由下往上走,男孩由上往下走,结果女孩走了40级到达楼上,男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍,则当该扶梯静止时,可看到的扶梯梯级有多少级?

解答:两个孩子走楼梯的方向不同,这样增加了解题的难度。但是从条件中可知,男孩走楼梯的速度是女孩的2倍,男孩走了80级正好是女孩走了40级的2倍,这样两人走完此楼梯的时间相同。设两人在这相同的时间内自动扶梯上升a级,那么扶梯的长度等于男孩在这段时间走的80级减去自动扶梯上升的a级,也等于女孩在这段相同的时间内走的40级加上自动扶梯上升的a级,所以有下面等式:80-a=40+a。解得 a=20。所以当扶梯静止时,扶梯可看见的梯级共有40+a=40+20=60(级)。

 

例5.小霞与小宝两个孩子比赛登电梯,已知他俩攀登电梯的速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶,电梯运行后,他俩沿电梯运行方向的相反方向从一楼登上二楼,分别用时60秒和30秒,那么如果他们攀登静止的电梯需要用时多少秒?

解答:要求出他们攀登静止的电梯时间,必须把电梯静止时的级数求出来,小霞用了60秒,60×2=120级,小宝用了30秒,30×3=90级。他们在攀登过程中,电梯运行的级数分别为2x和x,那么可以列式:120-2x=90-x,解得x=30级,电梯静止时可见部分为120-60=60级,需要的时间很容易求出来了。

 

例6.小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒,如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒,那么电动扶梯不动时,小明徒步沿扶梯上楼需多少秒?

解答:站着不动乘电梯时间为30秒,乘电梯同时向上走要12秒,速度和时间成反比,为2:5,电梯速度为2,小明的速度为3.接下来就要求电梯的级数了30×2=60级,那么当电梯不动时,徒步上楼要60÷3=20秒。

例7.在商场里甲开始乘自动扶梯从一楼到二楼,并在上向上走,同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层。当甲乙处于同一高度时,甲反身向下走,结果他一共走了60级,如果他一直走到顶端再反身向下走,则一共要走80级,那么,自动扶梯不动时从下到上要走多少级?

分析:向上走速度为甲和自动扶梯的速度和,向下走速度为甲和自动扶梯的速度差。

当甲乙处于同一高度时,甲反身向下走,结果他一共走了60级,如果他一直走到顶端再反身向下走,则一共要走80级,60÷80=3/4,这说明甲乙处于同一高度时,甲的高度是两层总高度的3/4。则甲和自动扶梯的速度和与自动扶梯的速度之比是3/4:(1-3/4)=3:1,即甲的速度与自动扶梯速度之比2:1,甲和自动扶梯的速度差与自动扶梯的速度相等。向下走速度向上走速度的1/3,所用时间为向上走的3倍,则甲向下走的台阶数就是向上走台阶数的3倍.因此甲向上走了80÷(3+1)=20级台阶。甲的速度与自动扶梯速度之比2:1,甲走20级台阶的同时自动扶梯向上移动了10级台阶,因此如果自动扶梯不动,甲从下到上要走20+10=30级台阶。

 例8.小偷与警察相隔30秒先后逆向跑上一自动扶梯,小偷每秒可跨越3级阶梯,警察每秒可跨越4级阶梯。已知该自动扶梯共有150级阶梯,每秒运行1.5级阶梯,问警察能否在自动扶梯上抓住小偷?

分析:全部以地板为参照物,那么小偷速度为每秒1.5级阶梯,警察速度为每秒2.5级阶梯。警察跑上电梯时相距小偷1.5×30=45级阶梯,警察追上小偷需要45秒,在这45秒内,小偷可以跑上1.5×45=67.5级阶梯,那么追上小偷后,小偷在第112~第113级阶梯之间,没有超过150,所以警察能在自动扶梯上抓住小偷。

  练习精选】

  1. 小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒,如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒,那么电动扶梯不动时,小明徒步沿扶梯上楼需__________秒.
  2. 小霞与小宝两个孩子比赛登电梯,已知他俩攀登电梯的速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶,电梯运行后,他俩沿电梯运行方向的相反方向从一楼登上二楼,分别用时60秒和30秒,那么如果他们攀登静止的电梯需要用时多少秒?
  3. (奥数网精选试题)商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子在行驶的扶梯上上下走动,女孩由下往上走,男孩由上往下走,结果女孩走了40级到达楼上,男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍,则当该扶梯静止时,可看到的扶梯梯级有多少级?
  4. (北京市迎春杯试题)小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼,如果他一级一级的走下去,从扶梯的上端走到下端需要走36级。如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦,不要效仿!),需要用下楼时5倍的速度走60级才能走到上端。请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级?
  5. 在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯。小强想逆行从上到下,如果每秒向下迈两级台阶,那么他走过100级台阶后到达站台;如果每秒向下迈三级台阶,那么走过75级台阶到达站台。自动扶梯有多少级台阶?

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