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日志

 
 

【转载】综合性“行程问题”的分析方法例举  

2014-07-26 23:38:19|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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   综合性“行程问题”的分析方法例举

           “行程问题”在小学数学中占有重要位置,这类问题可以开发和提升儿童的思维分析能力,尤其是给小学生讲解综合了“相遇问题”和“追及问题”的题目时,更能培养儿童的解题能力。弄清路程、速度、时间的关系,是解决这类问题的基础,如果能够把题目中的数量关系搞明白了,再运用画图来加深理解,把复杂的问题分解成一个个简单的问题,学习起来也就不难了。

 (一)
  例一:
 小明步行上学,如果每分钟走60米,要迟到5分钟,如果每分钟走75米,可以提前2分钟到校。小明到学校要走多少米?


  我们来分析:


   1、如果每分钟走60米,上课时间到时,小明还差60×5=300米才到达。
 
    2、如果每分钟走75米,到达学校后继续走,上课时间到时,小明超过学校75×2=150米。
 
    3、这两次的走法,距离相差300+150=450米。
 
    为什么有差别?因为一次快一次慢。在同样的时间里,快的比慢的多走了450米。这同样的时间,就是小明出发时到上课的时间,也就是准点到达学校的时间。
 
    这不就成了“追及问题”吗?公式:时间=距离÷速度差。
 
    4、小明准时到达学校需要的时间:450÷(75-60)=30分钟
 
    5、知道了时间和速度,求距离就很容易了。
 
    60×(30+5)=2100米。还可以这样:75×(30-2)=2100米
 
    两种算法,结果一致,答案正确!
 
    例二:
 
    甲每分钟行60米,乙每分钟行50米,丙每分钟行40米,甲从A地,乙丙从B地同时出发,相向而行,甲和乙相遇后15分钟与丙相遇。AB两地相距多少米?
 
    这是一个综合了“相遇”和“追及”的复合题。
 
    “甲和乙相遇后15分钟与丙相遇”,我们可以求出这15分钟甲和丙行的距离:
 
    (60+40)×15=1500米【这是相遇问题!】
 
    这1500米表示什么?【这是问题的关键!】
 
    表示:
 
    1、甲乙相遇时,丙离这个相遇点还有1500米。
 
    2、甲乙相遇时,乙比丙多行了1500米。
 
    既然在甲乙相遇的时间里,乙比丙多行了1500米,那么,甲乙相遇的时间就可以求出来了。这个时间也就是乙超过丙1500米的时间,这是“追及问题”了!
 
    1500÷(50-40)=150分钟
 
    甲乙相遇的时间求出了,他们的速度是已知的,求两地距离就简单了。【又是一个“相遇问题”了!】
 
    (60+50)×150=16500米
 
    一步一步地推理,问题解决了!
 
    例三:
 
    甲乙两人分别从AB两地同时出发,如果同向而行,甲26分钟追上乙,如果相向出发,6分钟相遇。乙每分钟行50米。求AB两地距离。
 
    问题看似无从着手,题目既有追及又有相遇。
 
    现在只知道乙的速度,如果能够求出甲的速度,问题就迎刃而解了!
 
    相向而行,相遇时乙行了6分钟,行的路程是: 50×6=300米
 
    这300米,也就是甲行6分钟与乙相遇时,甲离B地还有300米。【这点很重要啊!】
 
    同样,在同向而行时,当甲向B地行6分钟时,离B地还有300米。这时,乙也离开B地行了6分钟,也是300米。
 
    这样,同向而行6分钟,甲与乙相距:300+300=600米
 
    从这时开始,甲追上乙,必须比乙多行600米。
 
    此时,已经行了6分钟,要在出发26分钟追上乙,还剩下:26-6=20分钟
 
    甲要在20分钟比乙多行600米,那么,每分钟就得多行:600÷20=30米
 
    甲的速度就是每分钟行:50+30=80米
 
    AB两地的距离就可以算出来了:【“相遇问题”啊!】(80+50)×6=780米
 
    验算看看,甲多少分钟追上乙:
 
    780÷(80-50)=26分钟【正确!】
 
    答案:AB两地距离是780米。
 
    上面三个例题比较典型,如果用方程解,也不一定讲解得透彻,何况小学生只是懂得一元一次方程。我们用小学生掌握的基础知识去一步一步地分析,他们就可以举一反三了。
 
 (二)
    

例1  姐姐放学回家,以每分钟80米的速度步行回家,12分钟后妹妹骑车以每分钟240米的速度从学校往家中骑,经过几分钟妹妹可以追上姐姐?

分析:经过12分钟,姐姐到达A地,妹妹骑车回家。如下图所示:

从图中可以看出妹妹从出发到追上姐姐这段时间里,妹妹要比姐姐多行的路程就是姐姐12分钟所走的路程,也就是妹妹与姐姐的路程差。有了路程差,再求出速度差,根据追及问题的数量关系式

                   追及时间=路程差÷速度差

就可求出妹妹追上姐姐的时间。

解答:妹妹与姐姐的路程差

                         80×12=960(千米)

妹妹与姐姐的速度差

240-80=160(千米)

妹妹追上姐姐的时间

     960÷160=6(分)

答:经过6分钟妹妹追上姐姐。

例2   一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距360千米的两地相向而行,公共汽车每小时行35千米,小轿车每小时行55千米,几小时后两车相距90千米?

分析:两车从相距360千米的两地同时出发相向而行,距离逐渐缩短,在相遇前某一时刻两车相距90千米。如下图

这时两车共行的路程为

360-90=270(千米)

值得注意的是,当两车相遇后继续行驶时,两车之间的距离又从零逐渐增大,到某一时刻,两车再一次相距90千米。如下图所示

从图中可知,这时两车共行的路程为

                       360+90=450(千米)

根据相遇问题的数量关系式

                      相遇时间=总路程÷速度和

所求的问题就可以解答。

解答:相遇前

                         (360-90)÷(35+55)

                          =270÷90

                          =3(时)

相遇后

                    (360+90)÷(35+55)

                     =450÷90

                     =5(时)

答:两车在出发后3小时相距90千米,在出发后5小时再一次相距90千米。

说明:本题中两车没有相遇,从表面上看虽然不是相遇问题,但是两车所有的时间是相同的,因此可以当做相遇问题来解答。

例3  兄弟两人骑自行车同时从学校出发回家。哥哥每小时行15千米,弟弟每小时行10千米。出发半个小时后哥哥因事返回学校,到学校后又耽搁了1小时,然后动身去追弟弟。当哥哥追上弟弟时,距学校多少千米?

分析:本题可以分段考虑,从开始一步步分析。出发半个小时后,哥哥因事返回学校,在这个过程中哥哥和弟弟各行了1小时,到学校后哥哥又耽搁了1小时,这时弟弟又行了1小时。因此可以看作当哥哥准备从学校追弟弟时,弟弟共行了2小时,弟弟2小时所行的路程就是哥哥与弟弟的路程差,由此可求出追及时间。

解答:哥哥从学校开始追弟弟的路程差

10×(0.5×2+1)=20(千米)

哥哥追上弟弟的时间

20÷(15-10)=4(时)

哥哥在追上弟弟时离学校的距离

15×4=60(千米)

答:哥哥在追上弟弟时离学校60千米。

例4  小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行,两人在离甲地40米处第一次相遇,相遇后两人仍以原速继续行驶,并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回,途中两人在距乙地15米处第二次相遇。甲、乙两地相距多少米?

分析:根据题意画图如下

从图中可知,小张、小明两人第一次相遇时,共行的路程即是甲、乙两地之间的距离,这时,小张行了40米。当他们第二次相遇时,小张行了甲、乙间距离还多15米,小明行了两个甲、乙间距离少15米,合起来两个人共行了甲、乙间距离的3倍。因此小张从出发到第二次相遇所行的路程应是他从出发到第一次相遇所行的路程的3倍,即可求出他从出发到第二次相遇所行的路程。又知这段路程比甲、乙间距离多15米,甲、乙间距离就可求出了。

解答:小张从出发到第二次相遇所行的路程

                       40×3=120(米)

甲、乙间距离

120-15=105(米)

答:甲、乙两地相距105米。

例5  在周长为400米的圆形跑道的一条直径的两端,甲、乙两人分别以每秒6米和每秒4米的速度骑自行车同时同向出发(顺时针)沿圆周行驶,经过多长时间,甲第二次追上乙?

分析:如图,在出发的时候,甲、乙两人相距半个周长,根据路程差÷速度差=追及时间,就可求出甲第一次追上乙的时间。当甲追上乙后,两人就可以看作同时同地出发,同向而行。甲要追上乙,就要比乙多骑一圈400米,从而可求出甲第二次追上乙的时间。

解答:甲第一次追上乙的时间

              400÷2÷(6-4)=100(秒)

甲第二次追上乙的时间

          400+(6-4)=200(秒)

一共所用的时间

           100+200=300(秒)

答:经过300秒后甲第二次追上乙。

说明:在环形跑道上行驶,两车同时同地同向出发,若再一次相遇,快行者必须比慢行者多行一圈,即路程差为环形跑道的周长。

例6  客车、货车、卡车三辆车,客车每小时行60千米,货车每小时行50千米,卡车每小时行55千米。客车、货车从东镇,卡车从西镇,同时相向而行,卡车遇上客车后,10小时后又遇上了货车。东西两镇相距多少千米?

分析:根据题意画图

当卡车与客车在A点相遇时,而货车行到B点,10小时后,卡车又遇到货车,说明在10小时内卡车与货车合行路程是(卡车与客车相遇时)客车与货车所行的路程差。客车与货车相差AB的路程所用的时间就是卡车与客车的相遇时间。

解答:AB间距离(客车与货车路程差)

                   (55+50)×10=1050(千米)

    客车与卡车相遇时间

1050÷(60-50)=105(时)

    两镇间距离

(60+55)×105=12075(千米)

答:两镇相距12075千米。

说明:这是一道相遇问题与追及问题相结合的应用题。客车与货车相差1050千米所用的时间就是卡车与客车的相遇时间,这一点是解题的关键。

 

阅读材料

轮船相遇

斯图姆是法国数学家,在数学的许多领域都作出了开创性的工作。一次,斯图姆去参加一个国际学术会议,一位朋友向他请教了如下一个问题:

每天中午有一艘轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛,轮船在途中均要航行七天七夜,试问,每条从哈佛开出后的轮船在到达纽约前能遇上几艘从纽约开来的轮船?

你能试着给出解答吗?

 

 

练习题

1.A、B两城相距450千米,甲、乙两辆汽车同时从A城开往B城 ,甲车每小时行52千米,乙车每小时行38千米,甲车到达B城后立即返回,两车从出发到相遇共需多少小时?

分析:根据题意画图如下

从图中可知,两车从出发到相遇所走的路程正好是两个A、B城之间的距离,所以两车从出发到相遇所用的时间相当于两车行了两个450千米所需的时间。

解答:450×2÷(52+38)

=900÷90

=10(时)

答:两车从出发到相遇共需10小时。

2.哥哥以每分钟50米的速度从学校步行回家,12分钟后弟弟从学校出来骑车追哥哥,结果在距学校800米处追上哥哥。求弟弟骑车的速度。

分析:根据题意画图如下

当弟弟追上哥哥时,距学校800米。这800米是哥哥两次所行路程的和,一次是12分钟内行的路程,另一次是弟弟从出发到追上哥哥所用时间内(追及时间)哥哥行的路程。

解答:弟弟追上哥哥的时间(追及时间)

(800-12×50)÷50

=(800-600)÷50

=200÷50

=4(分)

弟弟的速度

               800÷4=200(米)

答:弟弟骑车每分钟行200米。

3.东、西两镇相距100千米,甲、乙两车分别从两镇同时出发相向而行,4小时后相遇。已知甲比乙每小时快3千米,甲、乙两车的速度是多少?

分析:100千米是两车所行的总路程,4小时为相遇时间。根据相遇问题的数量关系式,就可求出两车的速度和。又已知两车的速度差,根据和差问题,两车速度就解决了。

解答:两车速度和

100÷4=25(千米)

甲的速度

(25+3)÷2=14(千米)

乙的速度

25-14=11(千米)

答:甲的速度为每小时14千米,乙的速度为每小时11千米。

4.一辆货车以每小时65千米的速度前进,一辆客车在它的后面1500米处,以每小时80千米的速度同向行驶,客车在超过货车前2分钟,两车相距多少米?

分析:客车超过货车的一瞬间,也就是客车追上货车,这时两车所行的路程是相等的。客车超过货车前2分钟两车相距的路程即客车与货车2分钟内的路程差。

解答:客车与货车1小时的路程差

80-65=15(千米)

客车与货车2分钟的路程差

15×1000÷60×2=500(米)

答:客车在超过货车前2分钟,两车相距500米。

说明:做完题后回过头来再想一想,发现已知条件客车在货车后面1500米是多余的,不管开始两车相距多远,客车在超过货车前2分钟,两车相距的路程是不变的。本题还要注意单位的互化。

5.甲乙两人骑车同时从南北两地相向而行,甲每小时行23千米,乙每小时行18千米,两人在距两地中点10千米处相遇,南北两地相距多少千米?

分析:根据题意画图如下

从图中可以看出,甲走了南北距离的一半多10千米,乙走了南北距离的一半少10千米。从出发到相遇,甲比乙多走了两个10千米。又已知 甲每小时比乙多行

                  23-18=5(千米)

多少小时后甲就比乙多行20千米?这个时间就是甲乙相遇时间,有了相遇时间,南北两地的距离就可求出了。

解答:甲乙相遇时间

               10×2÷(23-18)

               =20÷5

               =4(时)

南北全程

              (23+18)×4

               =41×4

               =164(千米)

答:南北两地相距164千米。

说明:本题表面现象是相遇,实质上有追及的特点。因此可以按照追及问题来解答。在做题过程中要抓住题目的本质,究竟考虑速度和,还是考虑速度差,要针对题目中的条件认真思考。千万不要“两人面对面”就是“相遇”,“两人一前一后”就是“追及”。

6.小红和小蓝练习跑步,若小红让小蓝先跑20米,则小红跑5秒就可追上小蓝。若小红让小蓝先跑4秒钟,则小红6秒钟追上小蓝,小红、小蓝的速度各是多少?

分析:小红让小蓝先跑20米,则20米就是小红、小蓝的路程差,小红跑5秒钟追上小蓝,5秒就是追及时间,由此可求出他们的速度差。若小红让小蓝先跑4秒钟,则小红6秒钟追上小蓝,在这个过程中,6秒为追及时间。根据上一个条件,由速度差和追及时间可求出在这个过程中的路程差。这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程,因此可求出小蓝的速度。

解答:两人的速度差

20÷5=4(米)

小蓝的速度

6×4÷4=6(米)

小红的速度

6+4=10(米)

答:小红每秒跑10米,小蓝每秒跑6米。

7.甲乙两站相距360千米,客车与货车同时从甲站开往乙站。客车每小时行60千米,货车每小时行40千米,客车到达乙站后停留半小时,又以原速返回甲站,两车相遇的地点离乙站多少千米?

分析:由于客车在乙站停留时,货车仍然行驶,因此可以分段考虑。

解答:客车到达乙地的时间

                 360÷60=6(时)

客车返回时,货车已行的路程

         40×(6+0.5)=260(千米)

货车这时距乙地的路程

                 360-260=100(千米)

客车返回与货车相遇时所用的时间

               100÷(40+60)=1(时)

相遇点离乙地的距离

                  60×1=60(千米)

答:相遇时距乙地60千米。

8.甲、乙两人同时从东、西两地分别出发,如果两人同向而行,甲28分钟追上乙;如果两人相向而行,8分钟相遇。已知乙每分钟行50米,东西两地相距多少米?

分析:根据题意画图如下

 

从图中可以看出甲

28-8=20(分)

内所走的路程与乙

28+8=36(分)

内所走的路程是相同的,又已知乙的速度,因此可求出甲的速度,东西两地的全程就可求。

解答:甲的速度

50×(28+8)÷(28-8)

=50×36÷20

=1800÷20

=90(米)

东西两地间距离

(90+60)×8

=150×8

=1200(米)

答:东西两地相距1200米。

9.甲乙两人从相距50千米的两地同时出发,相向而行。甲每小时行6千米,乙每小时行4千米,甲带着一只狗,狗每小时跑12千米,这只狗同甲一道出发,;碰到乙的时候,它就掉头朝甲这边跑,碰到甲时又往乙那边跑,直到两人相遇,这只狗一共跑了多少千米?

分析:对于这道题,读完以后觉得很复杂:要求狗一共跑的路程,就要把狗与乙相遇跑的路程,与甲相遇跑的路程,再与乙相遇跑的路程…都求出来,然后再相加,算出结果。但是,仔细想一想,狗在甲乙两人之间要跑多少个来回,每次来回所用的时间是多少,这些量求起来很繁琐。

再认真审题,换个角度思考,不难发现,狗所跑的路程等于狗的速度乘以狗所跑时间。无论狗在甲、乙两人之间要跑多少个来回,狗跑的路程所用的总时间等于甲、乙两人相遇所用的时间。所以要求狗跑的时间,也就是求出甲、乙两人的相遇时间。因此原问题就转化成求甲、乙两人相遇时间的问题。

解答:甲乙两人的相遇时间是50÷(4+6)=5(时)

由于甲、乙两人相遇的时间就是狗来回跑所用的时间,所以狗一共跑的路程为

12×5=60(千米)

答:这只狗一共跑了60千米。

说明:有时在解题过程中会被题目中的情节或条件所迷惑,因此这时再换个角度思考就会出现“柳暗花明又一村”的感觉。

10.甲乙两人同时从A、B两地出发相向而行,两人在离A地90米处第一次相遇,相遇后两人仍以原速继续行驶,并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回,途中两人在距B地70米处第二次相遇。两人从第一次相遇到第二次相遇恰好经过了5分钟,甲、乙两人的速度是多少?

分析:根据本讲例4分析,先求出A、B间距离,再根据所给的时间就可求出两人的速度。

解答:A、B间距离

90×3-70

=270-70

=200(米)

甲的速度

90÷(5÷2)

=90÷2.5

=36(米)

乙的速度

      (200-70+90)÷5

         =220÷5

         =44(米)

答:甲的速度为每分钟36米,乙的速度为每分钟44米。

说明:两人第一次相遇时,合行的路程是A、B之间的距离。两人从出发到第二次相遇时,合行的路程是三个A、B之间的距离,即从第一次相遇到第二次相遇所行的路程应是从出发到第一次相遇的两倍。因此甲从第一次相遇到第二次相遇所行的时间也是从出发到第一次相遇时间的两倍,所以甲行90米用了5分钟的一半时间。

(三)

例1. 一列快车从甲地开往乙地,每小时行65千米,另一列客车从乙地开往甲地,每小时行60千米.两车在距中点20千米处相遇,求相遇时两车各行多少千米?
分析 相遇时距中点20千米,说明两车路程差为40千米.
解:相遇时两车所用时间:20×2÷(65-60)=8(小时)
   快车行65×8=520(千米)    客车行 60×8=480(千米)
答:相遇时快车行520米,客车行480米.

例2.A、B两地相距38千米,甲、乙两人分别从两地同时出发,相向而行,甲每小时行8千米,乙每小时行11千米,甲到达B地后立即返回A地,乙到达A地后立即返B地,几小时后两人在途中相遇?相遇时距A地多远?
分析:两车相遇时,两车共行了38×3千米。所用时间为:38×3÷(8+11)=6(小时).
      甲6小时所行路程=8×6=48=38+甲离B的距离.
解:两车相遇时所用时间38×3÷(8+11)=6
两车相遇时距A地38×3-(38+甲离B地的距离)=38×2-6×8=28(千米)
答:两车相遇时距A地28千米

例3、甲、乙两人同时从A、B两地相向而行,相遇时距A地120米,相遇后,他们继续前进,到达目的地后立即返回,在距A地150米处再次相遇,求A、B两地的距离?
分析:设两地距离为a第一次相遇时两车行了一个a ,第二次相遇两车行了2a.
第二次相遇时甲行了 120+120×2=360米。此时离A地150米.
解:两地距离为(120+120×2+150)÷2=255米
答:两地距离255米

例4、一支部队排成1200米长的队伍行军,在队尾的通讯员要与最前面的营长联系,他用6分钟时间跑步追上了营长,为了回到队尾,在追上营长的地方等待了24分钟.如果他从最前头跑步回到队尾,那么只需多长时间?
解:通讯员与队伍的速度差1200÷6=200米
    队伍的速度1200÷24=50米
    通讯员跑步回到队尾的时间1200÷(200+50+50)=4(分钟)
答:需4分钟。

例5、甲、乙两人同时从A地到B地,乙出发3小时后甲才出发,甲走了5小时后,已超过乙2千米。已知甲每小时比乙多行4千米.甲、乙两人每小时各行多少千米?
分析: 甲5小时比乙多行的距离就是乙3小时所行的距离。
解:乙的速度(4×5-2)÷3=6(千米)
   甲的速度6+4=10(千米)
答:甲每小时行10千米,以每小时行6千米.

例6 甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走50米,丙每分钟走40米.甲从A地,乙和丙从B地同时出发相向而行,甲和乙相遇后,过了15分钟又与丙相遇,求A、B两地间的距离.
   画图如下:
综合性“行程问题”的分析方法例举 - 数学老师 - 小学数学复习考试网
分析 结合上图,如果我们设甲、乙在点C相遇时,丙在D点,因为过15分钟后甲、丙在点E相遇,所以C、D之间的距离就等于(40+60)×15=1500(米).
   又因为乙和丙是同时从点B出发的,在相同的时间内,乙走到C点,丙才走到D点,即在相同的时间内乙比丙多走了1500米,而乙与丙的速度差为每分钟50-40=10(米),这样就可求出乙从B到C的时间为1500÷10=150(分钟),也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟,因此,可求出A、B的距离.
解:①甲和丙15分钟的相遇路程:(40+60)×15=1500(米).
  ②乙和丙的速度差: 每分钟50-40=10(米).
    ③甲和乙的相遇时间: 1500÷10=150(分钟).
    ④A、B两地间的距离:(50+60)×150=16500(米)=16.5千米。
答:A、B两地间的距离是16.5千米.

例7 甲、乙、丙是一条路上的三个车站,乙站到甲、丙两站的距离相等,小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行,小强经过乙站100米时与小明相遇,然后两人又继续前进,小强走到丙站立即返回,经过乙站300米时又追上小明,问:甲、乙两站的距离是多少米?
   先画图如下:

综合性“行程问题”的分析方法例举 - 数学老师 - 小学数学复习考试网

分析与解:结合上图,我们可以把上述运动分为两个阶段来考察:
设甲乙两地距离为a
   ①第一阶段——从出发到二人相遇:
   小强走的路程=a+100米,
   小明走的路程=a-100米.
   ②第二阶段——从他们相遇到小强追上小明,小强走的路程=2a-100米+300米=2a+200米,
   小明走的路程=100+300=400(米).
从小强在两个阶段所走的路程可以看出:小强在第二阶段所走的路是第一阶段的2倍,所以,小明第二阶段所走的路也是第一阶段的2倍,即第一阶段应走400÷2=200(米),从而可求出甲、乙之间的距离为200+100=300(米)。

例8.一只船在静水中每小时航行20千米,在水流速度为每小时4千米的江中,往返甲、乙两码头共用了12.5小时,求甲、乙两码头间距离.
解:顺水速度与逆水速度之比为(20+4):(20-4)=24:16=3:2
   因为路程一定时,速度与时间成反比,所以顺水时间:逆水时间=2:3
   甲乙两码头距离为综合性“行程问题”的分析方法例举 - 数学老师 - 小学数学复习考试网=120(千米)
答:甲、乙两码头间的距离是120千米.

例9甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,如果两人同向而行,甲26分钟赶上乙;如果两人相向而行,6分钟可相遇,又已知乙每分钟行50米,求A、B两地的距离.
   先画图如下:
   综合性“行程问题”的分析方法例举 - 数学老师 - 小学数学复习考试网

分析 若设甲、乙二人相遇地点为C,甲追及乙的地点为D,则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟,因此,甲走C到D之间的路程时,所用时间应为:(26-6)=20(分). 同时,由上图可知,C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和,为50×(26+6)=1600(米).所以,甲的速度为1600÷20=80(米/分),由此可求出A、B间的距离。
解:50×(26+6)÷(26-6)=50×32÷20=80(米/分)
   (80+50)×6=130×6=780(米)
答:A、B间的距离为780米.

例10.在一条公路上,甲乙两地相距600米,小明每小时行4千米,小李每小时行5千米。8点整,他们两人从甲、乙两地出发相向而行,1分钟后他们都调头反向而行,再过3分钟,他们又调头相向而行,依次按照1、3、5、7……(连续奇数)分钟调头行走。那么,小张、小李两人相遇时是8点几分?
分析:每分钟两人共走了综合性“行程问题”的分析方法例举 - 数学老师 - 小学数学复习考试网(千米)=150(米)
因为“相同”和“反向”要互相抵消,只有相向而行才能相遇,我们把抵消后相向行走时间称为有效时间.
相遇所需要有效时间是 600÷150=4(分钟)
我们把一次“反向”和一次“相向”算作一轮,第一轮的有效时间是1分钟,第二轮的有效时间是5-3=2(分钟),那么第三轮只需4-1-2=1(分钟)的有效时间即可,即有8-7=1(分钟),此时,他们共走了:1分钟相向,3分钟反向,5分钟相向,7分钟反向,8分钟相向.
解:用去的总时间为:1+3+5+7+8=24(分钟)
答:小张、小李两人相遇时是8点24分。

练习五 
*1.晶晶每天早上步行上学,如果每分钟走60米,则要迟到5分钟,如果每分钟走75米,则可提前2分钟到校.求晶晶到校的路程?
*2.甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走67.5米,丙每分钟走75米,甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?
**3.A、B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出,两车第一次在距甲站32公里处相遇,相遇后两车继续行驶,各自到达乙、甲两站后,立即沿原路返回,第二次在距甲站64公里处相遇,甲、乙两站间相距多少公里?
**4.周长为400米的圆形跑道上,有相距100米的A、B两点,甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑,两人相遇后,乙即转身与甲同向而跑,当甲跑到A时,乙恰好跑到B.如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变,那么追上乙时,甲共跑了多少米(从出发时算起)?
***5.李华以每小时4千米的速度从学校出发步行到20.4千米以外的冬令营报到,半小时后,营地的老师闻讯前往迎接,每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时,张明从学校骑车去营地报到,结果三人同时在途中某地相遇。张明骑车速度是多少?
***6.甲、乙、丙三人都以均匀的速度进行60米赛跑。当甲冲过终点线时,比乙领先10米,比丙领先20米。当乙到达终点时,比丙领先多少米?

 答案:

*1.解:60×5+75×2)÷(75—60)=30(分钟),60×(30+5)=2100(米),或75×(30—2)=2100(米)。
*2.解:①乙丙相遇时间:
     (60+75)×2÷(67.5—60)=36(分钟)。
    ②东西两镇之间相距多少米?
   (67.5+75)×36=5130(米)
**3.解法1:第二次相遇时A、B共行3个全程, 第一次相遇两车行一个全程.第一次到第二次相遇行了两个全程,
           此时甲行了32×3=96公里,距离A地64公里 .所以两地距离为(3×23+64)÷2=80(公里)
    解法2:设全程为x公里,(x-32+x-64)÷2=32,x=64+32÷2,∴x=80(公里).
    解法3:设全程为x公里,x-32=(64+32)÷2,x=80(公里).
    解法4:64—32=32(公里),32+32+32÷2=32+32+16=80(公里).
**4.解:设甲乙相遇点为 乙从相遇点C跑回B点时,甲从C过B到A,他比乙多跑了100米.由此可知,乙从B到C时,甲从A到C, 甲比乙也多跑100米.跑道周长400米,所以B到C是100米,A到C是200米.乙每跑100米,甲就多跑100米.要使甲、乙从C点开始,再次相遇,甲要比乙多跑一圈即400米,也就是说,乙要跑400米,甲跑800米才能与乙第二次相遇,再加上甲从A到C的200米,甲共跑了1000米。
综合性“行程问题”的分析方法例举 - 数学老师 - 小学数学复习考试网

***5.解:每小时20千米.提示:2小时时李华与老师距离为 20.4-(4×2+5.2×1.5)=4.6千米,
        两人相遇所需时间 4.6÷(4+5.2)=0.5小时张明骑车速度为4×(2+0.5)÷0.5=20千米
***6.解:12米.提示甲,乙, 丙速度之比为 6:5:4,
甲到终点时乙跑了解情况50米,丙跑了40米,当乙再跑遍10米时,丙跑遍10×综合性“行程问题”的分析方法例举 - 数学老师 - 小学数学复习考试网=8米,尚离终点12米.

     下面是一些行程问题,供大家学习用:(后面附有答案)
 
    1、小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米,小轿车和面包车同时从学校开出,沿着同一路线行驶,小轿车比面包车早10分钟到达城门,当面包车到达城门时,小轿车已离城门9千米,问学校到城门的距离是多少千米?(72千米)
 
    2、小张从家到公园,原打算每分种走50米.为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.问家到公园多远?(1500米)
 
    3、一辆自行车在前面以固定的速度行进,有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时,要1小时才能追上;如果速度是 35千米/小时,要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少?(20千米/小时)
 
    4、 甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行,6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变,乙车每小时多行5千米,且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变,甲车每小时多行5千米。且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点16千米.求A,B两地距离。( 420千米) 
 
    5、甲、乙两人同时从A、B两地相向而行,相遇时距A地120米,相遇后,他们继续前进,到达目的地后立即返回,在距A地150米处再次相遇,求A、B两地的距离。(255米)
 
    6、 甲、乙、丙是一条路上的三个车站,乙站到甲、丙两站的距离相等,小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行,小强经过乙站100米时与小明相遇,然后两人又继续前进,小强走到丙站立即返回,经过乙站300米时又追上小明,问:甲、乙两站的距离是多少米?(300米)

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