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【引用】小学数学趣题集   

2012-01-11 10:50:41|  分类: 快乐练习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自开开心心《小学数学趣题集 》

【一】鸡兔同笼:大约在1500年前,《孙子算经》中记载:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?意思是:有若干只鸡和兔同在一个笼子里,数头有35个;数脚有94只。求笼中有鸡和兔各多少只?

    ※①假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独角鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。这样,(1)鸡和兔的脚的总数就由94只变成94÷2=47只;(2)如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1。因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47-35=12(只)。显然,鸡的只数是35-12=23(只)。

   【“砍足法”令古今中外数学家赞叹不已,这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时,先不对问题采取直接的分析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转化,最终把它归成某个已经解决的问题。】

    ②用“假设法”:假设全部是鸡,头有35个,则脚有35×2=70只,相差94-70=24只,是兔多出的脚,每只兔多2只脚,兔有24÷2=12只,鸡有35-12=23(只)。

    ③用“方程”来解:解设兔头X只,则鸡有35-X只,列式为4X+(35-X)×2=94,X=12,鸡有35-12=23(只)。  

   【二】牛顿问题:英国科学家牛顿,曾经写过一本数学书。书中有一道有名的、关于牛在牧场上吃草的题目,人们把它称为“牛顿问题”:“有一牧场,已知养牛27头,6天把草吃尽;养牛23头,9天把草吃尽。如果养牛21头,几天能把牧场上的草吃尽?(并且牧场上的草是不断生长的)”

    ※一般解法是:把一头牛一天所吃的牧草看作1。

   (1)27头牛6天所吃的牧草为:27×6=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)

   (2)23头牛9天所吃的牧草为:23×9=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)

   (3)1天新长的草为:(207-162)÷(9-6)=15

   (4)牧场上原有的草为:27×6-15×6=72

   (5)每天新长的草足够15头牛吃,21头牛减去15头,剩下6头吃原牧场的草:72÷(21-15)=72÷6=12(天) 所以养21头牛,12天才能把牧场上的草吃尽。

    【练一练】有一牧场,如果养25只羊,8天可以把草吃尽;养21只羊,12天把草吃尽。如果养15只羊,几天能把牧场上不断生长的草吃尽?

    【三】鬼谷算:我国汉代有位大将叫韩信,他每次集合部队,只要求部下先后按l~3、1~5、1~7报数,然后再报告一下各队每次报数的余数,他就知道到了多少人。他的这种巧妙算法,人们称为鬼谷算,也叫隔墙算,或称为韩信点兵,外国人还称它为“中国剩余定理”。到了明代,数学家程大位用诗歌概括了这一算法,他写道:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆月正半,除百零五便得知。” 这首诗的意思是:用3除所得的余数乘上70,加上用5除所得余数乘以21,再加上用7除所得的余数乘上15,结果大于105就减去105的倍数,这样就知道所求的数了。比如,一篮鸡蛋,三个三个地数余1,五个五个地数余2,七个七个地数余3,篮子里有鸡蛋一定是52个。算式是:1×70+2×21+3×15=157,157-105=52(个)

    【练一练】四皓小学订《中国少年报》若干张,如果三张三张地数,余数为1张;五张五张地数,余数为2张;七张七张地数,余数为2张。四皓小学订《中国少年报》多少张?

    【四】电灯泡问题:“过道里依次挂着标号是1,2,3, ……100的电灯泡,开始它们都是灭的。当第一个人走过时,他将标号为1的倍数的灯泡的开关拉一下;当第二个人走过时,他将标号为2的倍数的灯泡的开关拉一下;当第三个人走过时,他将标号为3的倍数的电灯泡的开关拉一下;……如此进行下去,当第一百个人走过时,他将标号为100 的倍数的灯泡的开关拉一下。问:当第一百个人走过后,过道里亮着的电灯泡标号是多少?”

    ※ 此题实质是找每个灯泡的因数个数。第一个灯泡只有因数1,灯亮;第二个灯泡有两个因数1、2,等灭;由此可以看出因数的个数是奇数时,灯亮;因数的个数是偶数时,灯灭。故当第一百个人走过后,过道里亮着的电灯泡标号是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100.  

   【五】巧求六位数:“六位数□4321□能被4321整除,这个六位数是多少?”

    ※采用“假设──计算──排错──验证”的方法。

    假设六位数为943219,那么943219÷4321=218…1241,由于余数大于9,所以不合题意。

    假设六位数为843219,则有843219÷4321=195…64,余数大于9,也不合题意。

    假设六位数为743219,则743219÷4321=172…7,余数小于9,可见符合条件的六位数为743219-7=743212。

    当六位数的首位数分别为6、5、4、3、2、l时,经计算均不合题意。综上分析,要求的六位数为743212。

    【练一练】:四位数□89□能被89整除,这个四位是多少?答案:(4895)

    【六】时钟问题:①“钟面上有时针与分针,每针转动的速度是确定的。” 分针每分钟旋转的速度:360°÷60=6°,时针每分钟旋转的速度:360°÷(12×60)=0.5°,在钟面上要么是分针追赶时针,要么是分针超越时针。这里的转动角度用度数来表示,相当于行走的路程。因此钟面上两针的运动相当于典型的追及问题。

    例1:钟面上3时多少分时,分针与时针恰好重合?

    ※整3时,分针在12的位置上,时针在3的位置上,两针相隔90°。当两针第一次重合,就是3时过多少分。在整3时到两针重合的这段时间内,分针要比时针多行走360÷12×3=90°,每分钟分针比时针多走6-0.5=5.5(度),所用时间为90÷5.5≈16.36(分)。

    例2:在钟面上5时多少分时,分针与时针在一条直线上,而指向相反?

    ※在整5时,时针与分针相隔360÷12×5=150°,然后分针先是追上时针,分针需比时针多行走150°,然后超越时针180°,共150+ 180=330°,分针每分钟旋转的速度:360°÷60=6°,时针每分钟旋转的速度:360°÷(12×60)=0.5°,(150+ 180)÷(6— 0.5)= 60(分) 5时60分即6时正。

     例3:钟面上12时30分时,时针在分针后面多少度?

     ※整12时,分针与时针重合,相当于在同一起跑线上。到12时30分钟,分针走180°到达6时的位置上,而时针在30分钟内也在行走。实际上两针相隔的度数是在30分钟内分针超越时针的度数:(6—0.5)×30=55×3=165(度)

    例4:钟面上6时到7时之间两针相隔90°时,是几时几分?

    ※从6时整作为起点,此时两针成180°。当分针在时针后面90°时或分针超越时针90°时,就是所求的时刻。

(180—90)÷(6—0.5) =90 ÷5.5 ≈16.36(分钟)(180+ 90)÷(6— 0.5) =270÷5.5 ≈49.09(分钟)

    [此题还可采用分率方法来解决]

   【七】最优化问题:既要在尽可能节省人力、物力和时间前提下,争取获得在可能范围内的最佳效果,因此,最优化问题涉及统筹、线性规划——排序不等式等内容。

    例1:货轮上卸下若干只箱子,总重量为10吨,每只箱子的重量不超过1吨,为了保证能把这些箱子一次运走,问至少需要多少辆载重3吨的汽车?

   【分析】因为每一只箱子的重量不超过1吨,所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少于2吨,否则可以再放一只箱子。所以,5辆汽车本是足够的,但是4辆汽车并不一定能把箱子全部运走。例如,设有13只箱子,,所以每辆汽车只能运走3只箱子,13只箱子用4辆汽车一次运不走。因此,为了保证能一次把箱子全部运走,至少需要5辆汽车。

    例2: 用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根,至少要用去原材料几根?怎样截法最合算?

   【分析】 一个10尺长的竹竿应有三种截法:(1)3尺两根和4尺一根,最省; (2)3尺三根,余一尺;(3)4尺两根,余2尺。为了省材料,尽量使用方法(1),这样50根原材料,可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿,还差50根4尺的,最好选择方法(3),这样所需原材料最少,只需25根即可,这样,至少需用去原材料75根。

    例3: 一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数,而且是三个连续偶数,它们个位数字的和是7的倍数,这个三角形的周长最长是多少厘米?

   【分析】三角形三边是三个连续偶数,所以它们的个位数字只能是0,2,4,6,8,且它们的和也是偶数,又它们的个位数字的和是7的倍数,只能是14,三角形三条边最大可能是86,88,90,周长最长为86+88+90=264厘米。

    例4: 把25拆成若干个正整数的和,使它们的积最大。

    【分析】先从较小数形开始实验,发现其规律:

    把6拆成3+3,其积为3×3=9最大;

    把7拆成3+2+2,其积为3×2×2=12最大;

    把8拆成3+3+2,其积为3×3×2=18最大;

    把9拆成3+3+3,其积为3×3×3=27最大;……

    这就是说,要想分拆后的数的乘积最大,应尽可能多的出现3,而当某一自然数可表示为若干个3与1的和时,要取出一个3与1重合在一起再分拆成两个2之和,因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2,其积37×22=8748为最大。

    例5: A、B两人要到沙漠中探险,他们每天向沙漠深处走20千米,已知每人最多可携带一个人24天的食物和水,如果不准将部分食物存放于途中,问其中一个人最远可以深入沙漠多少千米(要求最后两人返回出发点)?如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用呢?

   【分析】设A走X天后返回,A留下自己返回时所需的食物,剩下的转给B,此时B共有(48-3X)天的食物,因为B最多携带24天的食物,所以X=8,剩下的24天食物,B只能再向前走8天,留下16天的食物供返回时用,所以B可以向沙漠深处走16天,因为每天走20千米,所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。

    如果改变条件,则问题关键为A返回时留给B24天的食物,由于24天的食物可以使B单独深入沙漠12天的路程,而另外24天的食物要供A、B两人往返一段路,这段路为24÷4=6天的路程,所以B可以深入沙漠18天的路程,也就是说,其中一个人最远可以深入沙漠360千米。

    例6、今有围棋子1400颗,甲、乙两人做取围棋子的游戏,甲先取,乙后取,两人轮流各取一次,规定每次只能取7P(P为1或不超过20的任一质数)颗棋子,谁最后取完为胜者,问甲、乙两人谁有必胜的策略?

    【想】因为1400=7×200,所以原题可以转化为:有围棋子200颗,甲、乙两人轮流每次取P颗,谁最后取完谁获胜。乙有必胜的策略。由于200=4×50,P或者是2或者可以表示为4k+1或4k+3的形式(k为零或正整数)。乙采取的策略为:若甲取2,4k+1,4k+3颗,则乙取2,3,1颗,使得余下的棋子仍是4的倍数。如此最后出现剩下数为不超过20的4的倍数,此时甲总不能取完,而乙可全部取完而获胜。

   [说明] (1)此题中,乙是“后发制人”,故先取者不一定存在必胜的策略,关键是看他们所面临的“情形”(2)我们可以这样来分析这个问题的解法,将所有的情形--剩余棋子的颗数分成两类,第一类是4的倍数,第二类是其它。若某人在取棋时遇到的是第二类情形,那么他可以取1或2或3,使得剩下的是第一类情形,若取棋时面临第一类情形,则取棋后留给另一个人的一定是第二类情形。所以,谁先面临第二类情形谁就能获胜,在绝大部分双人比赛问题中,都可采用这种方法。

    例7、有一个80人的旅游团,其中男50人,女30人,他们住的旅馆有11人、7人和5人的三种房间,男、女分别住不同的房间,他们至少要住多少个房间?

    [分析] 为了使得所住房间数最少,安排时应尽量先安排11人房间,这样50人男的应安排3个11人间,2个5人间和1个7人间;30个女人应安排1个11人间,2个7人间和1个5人间,共有10个房间。

    [练习]

    1、十个自然数之和等于1001,则这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少?(不包括0)

    2、在两条直角边的和一定的情况下,何种直角三角形面积最大,若两直角边的和为8,则三角形的最大面积为多少?

    3、5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水,他们打水所需要的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟,如果只有一个水龙头适当安排他们的打水顺序,就能够使每个人排队和打水时间的总和最小,那么这个最小值是多少分钟?

    4、某水池可以用甲、乙两水管注水,单放甲管需12小时注满,单放乙管需24小时注满。若要求10小时注满水池,并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少,则甲乙两管全放最少需要多少小时?

    5、有1995名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规,问完成任务后应该在该公路的什么地点集合,可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小?

    6、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数,规则是禁止写黑板上已写过的数的约数,不能完成下一步的为失败者。问:是先写者还是后写者必胜?如何取胜?

    [习题参考答案及思路分析]

    1、∵1001=7×11×13,∴可以7×13为公约数,这样这十个正整数可以是 ,91×2,它们的最大公约数为91。

    2、对于直角三角形而言,在直角边的和一定的情况下,等腰直角三角形的面积最大。若两直角边的和为8,则三角形的最大面积为 ×4×4=8。

    3、为了使每个人排队和打水时间的总和最小,有两种方法:(1)排队的人尽量少;(2)每次排队的时间尽量少。因此应先让打水快的人打水,才能保证开始排队人多的时候,每个人等待的时间要少,故共需5×1+4×2+3×3+2×4+5=35(分钟)。

    4、由于甲、乙单独开放都不可能在10小时注满水池,因此必须有时间甲、乙全放。为了使它们合放的时间最少,应尽量开放甲管(速度快),这样甲开10小时注满水池的,余下 只能由乙注满,需。因此甲乙两管全放最少需要4小时。

    5、此问题我们可以从最简单问题入手,寻找规律,从而解决复杂问题,最后集合地点应在中间地点。

    6、先写者存在获胜的策略。甲第一步写6,乙仅可写4,5,7,8,9,10中的一个,把它们分成数对(4,5),(8,10),(7,9)。如果乙写数对中的某个数,甲就写数对中的另一个数,则甲必胜。

    【八】利润与折扣:工厂和商店有时减价出售商品,通常称为“打折扣”出售,几折就是百分之几十。一般情况下,商品从厂家购进的价格称为本价,商家在成本价的基础上提高价格出售,所赚的钱称为利润,利润与成本的百分比称之为利润率。期望利润=成本价×期望利润率。

   例1、某商店将某种DVD按进价提高35%后,打出“九折优惠酬宾,外送50元出租车费”的广告,结果每台仍旧获利208元,那么每台DVD的进价是多少元?

    ※定价是进价的1+35%=135%,打九折后,实际售价是进价的135%×90%=121.5%,每台DVD的实际盈利:208+50=258(元),每台DVD的进价258÷(121.5%-1)=1200(元)

    例2:一种服装,甲店比乙店的进货便宜10%,甲店按20%的利润定价,乙店按15%的利润定价,甲店比乙店的出厂价便宜11.2元,甲店的进货价是多少元?

    ※设乙店的成本价为1,乙店的定价是(1+15%),甲店的定价(1-10%)×(1+20%),甲店比乙店的出厂价便宜   11.2元的对应分率是(1+15%)-(1-10%)×(1+20%)=7%,11.2÷7%=160(元)160×(1-10%)=144(元)

    例3、原来将一批水果按100%的利润定价出售,由于价格过高,无人购买,不得不按38%的利润重新定价,这样出售了其中的40%,此时因害怕剩余水果会变质,不得不再次降价,售出了全部水果。结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%,那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几?

    ※要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几,则需要求出第二次是按百分之几的利润定价。解:设第二次降价是按x%的利润定价的。38%×40%+x%×(1-40%)=30.2%,X%=25%,(1+25%)÷(1+100%)=62.5%  

    [练习]:

    1、某商品按每个7元的利润卖出13个的钱,与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元?

    2、租用仓库堆放3吨货物,每月租金7000元。这些货物原计划要销售3个月,由于降低了价格,结果2个月就销售完了,由于节省了租仓库的租金,所以结算下来,反而比原计划多赚了1000元。问:每千克货物的价格降低了多少元?

    3、张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说:“如果你肯减价,那么每减价1元,我就多订购4件。”商店经理算了一下,若减价5%,则由于张先生多订购,获得的利润反而比原来多100元。问:这种商品的成本是多少元?

    4、某商店到苹果产地去收购苹果,收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距离是400千米,运费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果在运输及销售过程中的损耗是10%,商店要想实现25%的利润率,零售价应是每千克多少元?

    5、小明到商店买了相同数量的红球和白球,红球原价2元3个,白球原价3元5个。新年优惠,两种球都按1元2个卖,结果小明少花了8元钱。问:小明共买了多少个球?

    6、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元,每年需付利息5万元。甲种贷款年利率为12%,乙种贷款年利率为14%。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少?

    7、商店进了一批钢笔,用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价每支多少元?

    8、某种蜜瓜大量上市,这几天的价格每天都是前一天的80%。妈妈第一天买了2个,第二天买了3个,第三天买了5个,共花了38元。若这10个蜜瓜都在第三天买,则能少花多少钱?

    9、商店以每双13元购进一批凉鞋,售价为14.8元,卖到还剩5双时,除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利88元。问:这批凉鞋共多少双?

    10、体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球。零售时足球加价9%,篮球加价11%,全部卖出后获利润298元。问:每个足球和篮球的进价是多少元?

    【九】找次品问题:例1 有4堆外表一样的球,每堆4个。其中三堆是正品、一堆是次品,正品球每个重10克,次品球每个重11克,请你用天平只称一次,把是次品的那堆找出来。

    ※依次从第一、二、三、四堆球中,各取1、2、3、4个球,这10个球一起放到天平上去称,总重量比100克多几克,第几堆就是次品球。

    例2、有27个外表一样的球,其中有一个次品,重量比正品轻,用天平只称三次(不用砝码),把次品球找出来。

    ※第一次:把27个球分为三堆,每堆9个,取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡,可找到较轻的一堆;若天平平衡,则剩下来称的一堆必定较轻,次品必在较轻的一堆中。

    第二次:把第一次判定为较轻的一堆又分三堆,每堆3个球,按上法称其中两堆,可找出次品在其中较轻的那一堆。

    第三次:从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次,若天平不平衡,则较轻的就是次品,若天平平衡,则剩下一个未称的就是次品。 

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