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小 学 数 学 基 本 概 念 和 常 遇 应 用 题 类 型  

2010-08-16 06:53:59|  分类: 快乐练习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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                                              小学数学基本概念和常遇应用题类型

  自然数:用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……叫做自然数。

整数:自然数都是整数,整数不都是自然数。

小数:小数是特殊形式的分数。但是不能说小数就是分数。

混小数(带小数):小数的整数部分不为零的小数叫混小数,也叫带小数。

纯小数:小数的整数部分为零的小数,叫做纯小数。

循环小数:小数部分一个数字或几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。例如:0.333……,1.2470470470……都是循环小数。

纯循环小数:循环节从十分位就开始的循环小数,叫做纯循环小数。

混循环小数:与纯循环小数有唯一的区别:不是从十分位开始循环的循环小数,叫混循环小数。

有限小数:小数的小数部分只有有限个数字的小数(不全为零)叫做有限小数。

无限小数:小数的小数部分有无数个数字(不包含全为零)的小数,叫做无限小数。循环小数都是无限小数,无限小数不一定都是循环小数。例如,圆周率π也是无限小数。

分数:表示把一个“单位1”平均分成若干份,取其中的一份或几份的数,叫做分数。

真分数:分子比分母小的分数叫真分数。

假分数:分子比分母大,或者分子等于分母的分数叫做假分数。

带分数:一个整数(零除外)和一个真分数组合在一起的数,叫做带分数。带分数也是假分数的另一种表示形式,相互之间可以互化。

数与数字的区别:数字(也就是数码):是用来记数的符号,通常用国际通用的阿拉伯数字 0~9这十个数字。其他还有中国小写数字,大写数字,罗马数字等等。

数是由数字和数位组成。

0的意义:0既可以表示“没有”,也可以作为某些数量的界限。如温度等。0是一个完全有确定意义的数。0是一个最小的自然数。0是一个偶数。0是任何自然数(0除外)的倍数。0有占位的作用。0不能作除数。

十进制:十进制计数法是世界各国常用的一种记数方法。特点是相邻两个单位之间的进率都是十。10个较低的单位等于1个相邻的较高单位。常说“满十进一”,这种以“十”为基数的进位制,叫做十进制。

加法:把两个数合并成一个数的运算,叫做加法,其中两个数都叫“加数”,结果叫“和”。

减法:已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法。减法是加法的逆运算。其中“和”叫“被减数”,已知的加数叫“减数”,求出的另一个加数叫“差”。

乘法:求n个相同加数的和的简便运算,叫做乘法。其中相同的这个数及n个这样的数都叫“因数”,结果叫“积”。

除法:已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算,叫做除法。除法是乘法的逆运算。其中“积”叫做“被除数”,已知的一个因数叫做“除数”,求出来的另一个因数叫做 “商”。

加、减法的运算定律

加法交换律:两个数相加,交换两个加数的位置,和不变,叫做加法交换律。

加法结合律:三个数相加,先把前二个数相加,再加第三个数,或者,先把后二个数相加,再加上第一个数,其和不变。这叫做加法结合律。

在减法中,被减数、减数同时加上或者减去一个数,差不变。

在减法中,被减数增加多少或者减少多少,减数不变,差随着增加或者减少多少。反之,减数增加多少或者减少多少,被减数不变,差随着减少或者增加多少。

在减法中,被减数减去若干个减数,可以把这些减数先加,差不变。

乘、除法运算定律

乘法的交换律:两个数相乘,交换两个因数的位置,积不变。这叫做乘法的交换律。

乘法的结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数,或者,先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,积不变。这叫做乘法结合律。

乘法分配律:两个数的和(或差)与一个数相乘,等于把这两个数分别与这个数相乘,再把两个积相加(或相减)。这叫做乘法分配律。

 乘法的其他运算性质

 一个因数扩大若干倍,必须把另一个因数缩小相同的倍数,其积不变。

除法的运算性质---商不变性质

两个数相除,被除数和除数同时扩大或者缩小相同的一个数(0除外),商的大小不变。

乘法的意义

一道乘法算式一般有下面几个意义:

一、求几个相同加数的和是多少?例如:27×13,表示求13个27的和是多少?也可以表示求27的13倍是多少?

二、求一个数的若干倍是多少?例如:27×0.3或者的意义:求27的十分之三是多少?

除法的意义

一道除法算式,一般有下面几个意义:

1、一个数里有几个除数。简称“包含除法”。 例如,24÷3表示24里面包含有几个3。

2、一个数是另一个数的多少倍。例如:24÷3,表示24是3的多少倍?

3、把一个数平均分成若干份,每份是多少?简称“等分除法”。

例如:24÷3,表示把24平均分成3份,每份是多少?

4、已知一个数的几分之几是多少,求这个数。

例如:,表示:已知一个数的三分之一是24,求这个数。

整除与除尽

整除:甲数除以乙数(甲、乙为自然数),商是整数,余数为零。就说甲数能被乙数整除。

除尽:甲数除以乙数(乙数不为零),商是有限数。就说甲数能被乙数除尽。

整除可以说是除尽,但除尽就不能说一定叫整除。

例如:1÷5=0.2,叫除尽,但不叫整除。因为商是小数。

又如:10÷3=3……1,既不叫整除,(因为余数不为零)也不叫除尽。

约数和倍数:当甲数能被乙数整除时,就说甲数是乙数的倍数,乙数是甲数的约数。这两个概念都是相对而存在。一个自然数,不存在是否倍数与约数。例如:“3是约数”,就是一个错误说法。只能是对3、6、9、……等数而言,是其中某个数的约数。

奇数与偶数:凡是能被2整除的数叫偶数,反之,不能被2整除的数叫奇数。

质数(素数)与合数:一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数,也叫素数。反之,一个数的约数除了1和它本身以外,还有其他的约数,这个数就叫合数。

1是否质数:由于1的约数只有1个,所以1既不是质数,也不是合数。

公约数:几个数公有的约数,叫做公约数。它的个数是有限的,既有最大的,也有最小的。

互质数:两个数的公约数只有1,而没有其他公约数的,这两个数就叫互质数。

质数与互质数:这两个概念没有什么联系。两个质数,不能肯定就是互质数。只有两个不相同的质数,才能肯定是互质数。另外,两个合数既可能是互质数,也可能不是互质数,但不能说两个合数一定不是互质数。

质因数:把一个合数分解成几个质数相乘的形式,这样的质数叫做质因数。

分解质因数:把一个合数分解成几个质数相同的形式,就叫做分解质因数。

公倍数:几个数公有的倍数,叫做公倍数。它的个数是无限的,只有最小的,没有最大的。

最大公约数:几个数公有的约数中,最大的一个就叫做这几个数的最大公约数。

最小公倍数:几个数公有的无限个倍数中,最小的一个,就叫做这几个数的最小公倍数。

能被2整除的判断方法:一个数能否被2整除,只要看这个数的末尾是否有0、2、4、6、8这五个数的其中一个即可。

能被5整除的判断方法:一个数能否被5整除,只要看这个数的末尾是否有0、5这两个数的其中一个即可。

能被3整除的判断方法:一个数能否被3整除,只要看这个数的各个数位上的数字和能否被3整除。

分数单位:分子为1,分母不为零的真分数,就叫这个分数的分数单位。例如:的分数单位是,它有7个这样的分数单位。又如的分数单位是,它有13个这样的分数单位(将带分数化成假分数)。

分数化有限小数的判断方法:一个分数能否化成有限小数,主要看分母(这里的分数一定是最简分数)是不是只有质因数“2或5”。掺杂任何其他质因数,都不能化成有限小数,反之,就一定能化成有限小数。

分数的基本性质:一个分数的分子、分母同时乘上或除以相同的数(零除外),分数的大小不变,这叫分数的基本性质。

分数的通分、约分

通分:把几个单位不同的分数,化成相同单位,且大小不变的分数,叫做通分。

约分:把一个分数化成同它相等的,分子、分母较小的分数,叫做约分。

百分数:表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。百分数又叫百分率或百分比。百分数是特殊分数。特征是分母为100,采用符号“%”(叫做百分号)来表示。分子可以是整数,也可以是小数。

百分率:两个相同量的比的比值,用百分数和的形式表示时,这个比值叫做这两个量的百分率,也叫百分比。通常的“××率”就是百分数。如“出勤率”等。

准确数与近似数(近似值):与实际情况完全符合的数,叫做准确数。与实际情况接近而有一定误差的数,叫做近似数(或叫近似值)。

名数与不名数:量数与计量单位名称合起来叫做名数。例如:7米、18千克、9时25分等都叫名数。没有带单位名称的数,叫做不名数。如2、4、6、8等,都叫不名数。

单名数与复名数:只含有一个计量单位名称的名数叫做单名数。例如7米、18千克等都叫做单名数。

含有两个或者两个以上的同类计量单位名称的名数,叫做复名数。例如:2米3分米5厘米,8小时33分,8吨8千克等都叫复名数。

高级单位与低级单位:计量单位较大的叫做高级单位,计量单位较小的叫做低级单位。高、低级单位是相对的,没有单个的高、低级单位的名数。

公历年的平年、闰年

平年:把公历年份除以4(这里不是整百的公历年份)有余数时,就把这一年叫做平年,计365天。其中二月份有28天。

闰年:把公历年份除以4(这里不是整百的公历年份)余数为零时,就把这一年叫做闰年,计366天。其中二月份有29天。如果年份是整百的,则除以400,再看余数。

时刻与时间:时刻表示一天内某一个特指的时候,例如上午8时30分开会,这里的“8时30分”这是时刻。时间表示两个是期或两个时刻的间隔。例如,做作业用去30分钟,这里的“30分钟”就是时间。

比和比值:比:两个数相除,叫做两个数的比。一般地当数a除以b(b≠0)就叫做a与b的比,记作a:b。也可以用分数形式表示为。比值:比的前项除以后项所得的商,叫做比值。比和比值有本质的不同。如既可看作是比,又可看作是比值。如果化成,则只能表示为比值。

比的化简:把一个比化为最好简整数比,叫做比的化简。一般情况下,化简以后的比,前后两项为互质数。

比例:表示两个比相等的式子叫做比例。

正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。用字母表示:X/Y=K(一定)

反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。用字母表示:XY=K(一定)

直线:没有端点,可以向两端无限延长。

射线:只有一个端点。可以向一端无限延长。

线段:有两个端点。射线和线段都是直线的一部分。两点之间,线段最短。

垂线、垂足:两条直线相交,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,其交点叫垂足。从直线外一点到直线所画的线段中,垂线最短。

角:锐角(小于900的角)、直角(等于900的角)、钝角(大于900而小于1800的角)、平角(等于1800的角)、周角(等于3600的角)

平行线:在同一平面内的两条不相交的直线,叫做平行线。

面积和地积:面积是用来表示一个物体的表面或者平面的大小。地积就是土地的面积。

体积和容积(容量):体积:用来表示物体所占空间的大小,叫做体积。容积:一个容器所能容纳物体的体积,叫做容积或容量

常遇应用题类型

和差问题:已知两个数的和与差,求这两个数的应用题,叫做和差问题。一般关系式有:

(和-差)÷2=较小数 (和+差)÷2=较大数

 例:甲乙两数的和是24,甲数比乙数少4,求甲乙两数各是多少?

(24+4)÷2 =28÷2 =14 →乙数

(24-4)÷2 =20÷2 =10 →甲数

 答:甲数是10,乙数是14。

差倍问题:已知两个数的差及两个数的倍数关系,求这两个数的应用题,叫做差倍问题。基本关系式是:两数差÷倍数差=较小数

例:有两堆煤,第二堆比第一堆多40吨,如果从第二堆中拿出5吨煤给第一堆,这时第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。原来两堆煤各有多少吨?

分析:原来第二堆煤比第一堆多40吨,给了第一堆5吨后,第二堆煤比第一堆就只多40-5×2吨,由基本关系式列式是:

(40-5×2)÷(3-1)-5 =(40-10)÷2-5 =30÷2-5 =15-5 =10(吨) 第一堆煤的重量

 0+40=50(吨) →第二堆煤的重量

答:第一堆煤有10吨,第二堆煤有50吨。

还原问题:已知一个数经过某些变化后的结果,要求原来的未知数的问题,一般叫做还原问题。

 还原问题是逆解应用题。一般根据加、减法,乘、除法的互逆运算的关系。由题目所叙述的的顺序,倒过来逆顺序的思考,从最后一个已知条件出发,逆推而上,求得结果。

例:仓库里有一些大米,第一天售出的重量比总数的一半少12吨。第二天售出的重量,比剩下的一半少12吨,结果还剩下19吨,这个仓库原来有大米多少吨?

分析:如果第二天刚好售出剩下的一半,就应是19+12吨。第一天售出以后,剩下的吨数是(19+12)×2吨。以下类推。

列式:[(19+12)×2-12]×2 =[31×2-12]×2  =[62-12]×2  =50×2 =100(吨)

答:这个仓库原来有大米100吨。

置换问题:题中有二个未知数,常常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数,然后根据已知条件进行假设性的运算。其结果往往与条件不符合,再加以适当的调整,从而求出结果。

例:一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张,总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张?

分析:先假定买来的100张邮票全部是20分一张的,那么总值应是20×100=2000(分),比原来的总值多2000-1880=120(分)。而这个多的120分,是把10分一张的看作是20分一张的,每张多算20-10=10(分),如此可以求出10分一张的有多少张。

列式:(2000-1880)÷(20-10)  =120÷10 =12(张)→10分一张的张数

100-12=88(张)→20分一张的张数或是先求出20分一张的张数,再求出10分一张的张数,方法同上,注意总值比原来的总值少。

盈亏问题(盈不足问题):题目中往往有两种分配方案,每种分配方案的结果会出现多(盈)或少(亏)的情况,通常把这类问题,叫做盈亏问题(也叫做盈不足问题)。解答这类问题时,应该先将两种分配方案进行比较,求出由于每份数的变化所引起的余数的变化,从中求出参加分配的总份数,然后根据题意,求出被分配物品的数量。其计算方法是:

当一次有余数,另一次不足时: 每份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差

当两次都有余数时: 总份数=(较大余数-较小数)÷两次每份数的差

当两次都不足时: 总份数=(较大不足数-较小不足数)÷两次每份数的差

例1、解放军某部的一个班,参加植树造林活动。如果每人栽5棵树苗,还剩下14棵树苗;如果每人栽7棵,就差4棵树苗。求这个班有多少人?一共有多少棵树苗

分析:由条件可知,这道题属第一种情况。 列式:(14+4)÷(7-5) =18÷2 = 9(人)

 5×9+14 =45+14 =59(棵)  或:7×9-4  =63-4 =59(棵)

 答:这个班有9人,一共有树苗59棵。

年龄问题:年龄问题的主要特点是两人的年龄差不变,而倍数差却发生变化。

常用的计算公式是:

成倍时小的年龄=大小年龄之差÷(倍数-1)

几年前的年龄=小的现年-成倍数时小的年龄

几年后的年龄=成倍时小的年龄-小的现在年龄

例父亲今年54岁,儿子今年12岁。几年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍?

(54-12)÷(4-1) =42÷3 =14(岁)→儿子几年后的年龄

 14-12=2(年)→2年后

 答:2年后父亲的年龄是儿子的4倍。

例2、父亲今年的年龄是54岁,儿子今年有12岁。几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍?

(54-12)÷(7-1) =42÷6=7(岁)→儿子几年前的年龄

12-7=5(年)→5年前

答:5年前父亲的年龄是儿子的7倍。

例3、王刚父母今年的年龄和是148岁,父亲年龄的3倍与母亲年龄的差比年龄和多4岁。王刚父母亲今年的年龄各是多少岁?

(148×2+4)÷(3+1)  =300÷4  =75(岁)→父亲的年龄

 148-75=73(岁)→母亲的年龄

答:王刚的父亲今年75岁,母亲今年73岁。

 或:(148+2)÷2 =150÷2 =75(岁) 75-2=73(岁)

鸡兔问题:已知鸡兔的总只数和总足数,求鸡兔各有多少只的一类应用题,叫做鸡兔问题,也叫“龟鹤问题”、“置换问题”。

一般先假设都是鸡(或兔),然后以兔(或鸡)置换鸡(或兔)。常用的基本公式有:

(总足数-鸡足数×总只数)÷每只鸡兔足数的差=兔数

(兔足数×总只数-总足数)÷每只鸡兔足数的差=鸡数

 例:鸡兔同笼共有24只。有64条腿。求笼中的鸡和兔各有多少只?

     (64-2×24)÷(4-2) =(64-48)÷(4-2)=16 ÷2 =8(只)→兔的只数

     24-8=16(只)→鸡的只数

     答:笼中的兔有8只,鸡有16只。

牛吃草问题(船漏水问题):若干头牛在一片有限范围内的草地上吃草。牛一边吃草,草地上一边长草。当增加(或减少)牛的数量时,这片草地上的草经过多少时间就刚好吃完呢?

例1、一片草地,可供15头牛吃10天,而供25头牛吃,可吃5天。如果青草每天生长速度一样,那么这片草地若供10头牛吃,可以吃几天?

分析:一般把1头牛每天的吃草量看作每份数,那么15头牛吃10天,其中就有草地上原有的草,加上这片草地10天长出草,以下类推……其中可以发现25头牛5天的吃草量比15头牛10天的吃草量要少。原因是因为其一,用的时间少;其二,对应的长出来的草也少。这个差就是这片草地5天长出来的草。每天长出来的草可供5头牛吃一天。如此当供10牛吃时,拿出5头牛专门吃每天长出来的草,余下的牛吃草地上原有的草。

 (15×10-25×5)÷(10-5)=(150-125)÷(10-5) =25÷5 =5(头)→可供5头牛吃一天。

   150-10×5 =150-50 =100(头)→草地上原有的草可供100头牛吃一天

    100÷(10-5) =100÷5 =20(天)

    答:若供10头牛吃,可以吃20天。

例2、一口井匀速往上涌水,用4部抽水机100分钟可以抽干;若用6部同样的抽水机则50分钟可以抽干。现在用7部同样的抽水机,多少分钟可以抽干这口井里的水?

(100×4-50×6)÷(100-50)=(400-300)÷(100-50)=100÷50 =2

 400-100×2 =400-200=200

  200÷(7-2)=200÷5 =40(分)

  答:用7部同样的抽水机,40分钟可以抽干这口井里的水。

公约数、公倍数问题:运用最大公约数或最小公倍数解答应用题,叫做公约数、公倍数问题。

  例1:一块长方体木料,长2.5米,宽1.75米,厚0.75米。如果把这块木料锯成同样大小的正方体木块,不准有剩余,而且每块的体积尽可能的大,那么,正方体木块的棱长是多少?共锯了多少块?

  分析:2.5=250厘米 1.75=175厘米0.75=75厘米

 其中250、175、75的最大公约数是25,所以正方体的棱长是25厘米。

(250÷25)×(175÷25)×(75÷25) =10×7×3 =210(块)

答:正方体的棱长是25厘米,共锯了210块。

例2、两啮合齿轮,一个有24个齿,另一个有40个齿,求某一对齿从第一次接触到第二次接触,每个齿轮至少要转多少周?

  分析:因为24和40的最小公倍数是120,也就是两个齿轮都转120个齿时,第一次接触的一对齿,刚好第二次接触。

  120÷24=5(周) 120÷40=3(周)

答:每个齿轮分别要转5周、3周。

分数应用题:指用分数计算来解答的应用题,叫做分数应用题,也叫分数问题。

分数应用题一般分为三类:

1.求一个数是另一个数的几分之几。

2.求一个数的几分之几是多少。

3.已知一个数的几分之几是多少,求这个数。

其中每一类别又分为二种,其一:一般分数应用题;其二:较复杂的分数应用题。

例1:育才小学有学生1000人,其中三好学生250人。三好学生占全校学生的几分之几?

例2:一堆煤有180吨,运走了3/5 。运走了多少吨?

例3:某农机厂去年生产农机1800台,今年计划比去年增加1/3 。今年计划生产多少台?

1800×(1+1/3 )

=1800×4/3

=2400(台)

答:今年计划生产2400台。

例4:修一条长2400米的公路,第一天修完全长的1/3 ,第二天修完余下的1/4 。还剩下多少米?

 2400×(1-1/3 )×(1-1/4 )

=2400×2/3 ×3/4

=1200(米)

答:还剩下1200米。

例5:一个学校有三好学生168人,占全校学生人数的4/7 。全校有学生多少人?

例6:甲库存粮120吨,比乙库的存粮少1/3 。乙库存粮多少吨?

120÷(1-1/3) =120×3/2 =180(吨)

 答:乙库存粮180吨。

 例7:一堆煤,第一次运走全部的1/2 ,第二次运走全部的1/3 ,第二次比第一次少运8吨。这堆煤原有多少吨?

  8÷( 1/2-1/3 )= 8÷1/6 =48(吨)

答:这堆煤原有48吨。

工程问题:它是分数应用题的一个特例。是已知工作量、工作时间和工作效率,三个量中的两个求第三个量的问题。

解答工程问题时,一般要把全部工程看作“1”,然后根据下面的数量关系进行解答:

     工作效率×工作时间=工作量

     工作量÷工作时间=工作效率

     工作量÷工作效率=工作时间?

  例1:一项工程,甲队单独做需要18天,乙队单独做需要24天。如果两队合作8天后,余下的工程由甲队单独做,还要几天完成?

例2:一个水池,装有甲、乙两个进水管,一个出水管。单开甲管2小时可以注满;单开乙管3小时可以注满;单开出水管6小时可以放完。现在三管在池空时齐开,多少小时可以把水池注满?&@

百分数应用题:这类应用题与分数应用题的解答方式大致相同,仅求“率”时,表达方式不同,意义不同。

例1.某农科所进行发芽试验,种下250粒种子。发芽的有230粒。求发芽率。

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