注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

我的博客

只要心情是晴朗的,人生就没有雨天~~

 
 
 

日志

 
 

《 行 程 问 题 》(下)  

2010-08-16 06:40:21|  分类: 快乐练习 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |
                                              《行程问题》(下)

例38:自行车队出发12分钟后,通信员骑摩托车去追他们,在距出发地点9千米处追上了自行车队,然后通讯员立即返回出发点,到后又返回去追上了自行车队,再追上时,恰好离出发点18千米,求自行车队和摩托车的速度?

分析:比较复杂的行程问题,关键在于找到新的突破口,本题中给出了两次追击的路程,这就是突破口。

解答:从第一次追上到第二次追上的过程中,自行车队进了18-9=9(千米),而摩托车行进了:18+9=27(千米),由此可知摩托车速度是自行车队的3倍,那么第一次追及开始时,自行车领先距离为:6÷12=0.5(千米/分),摩托车速度为:0.5×3=1.5(千米/分)。

评注:在行程问题中,条件与条件之间有密切关系,充分利用所有已知条件及由这些条件推导出的条件非常重要,而要掌握所有条件首先就需要把整个行程的过程弄清楚。

例39:图39是一个边长100米的正方形,甲从A点出发,每分钟走70米,乙同时从B点出发,每分钟走85米,两人都按逆时针方向沿着正方形边行进,问:乙在何处首次追上甲?乙第二次追上甲时,距B点多远。

分析与解答:乙比甲快,第一次追及距离为300米,所用时间为:300÷(85-70)=20(分钟),此时甲走了70×20=1400(米),因此首次追上时,甲、乙在C点。第二次追距离从C点开始算是一圈400米,用时为:400÷(85-70)=26又2/3(分钟),乙走的距离为:26又2/3×85=2266又2/3(米),因此乙第二次追上甲时在A、B之间距B33又1/3米处。

screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0>

图39

screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0>

图40

screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0>

图41

评注:在有图的题目中认真识图,注意行进方向、追及距离等问题。

例40:图40是一个边长为100米的正三角形,甲自A点,乙自B点同时出发,按顺时针方向沿三角形的边行进,甲每分钟走90米,乙每分钟走150米,但过每个顶点时,因转弯都要耽误10秒钟,问:乙在出发后多长时间,在何处追上甲?

分析与解答:甲速度合1.5米/秒,每边走66又2/3秒,停留10秒,乙速度合2.5米/秒,每边走40秒,停留10秒,列表如下:

到达同一距离时间(秒)

A

C

B

/

66又2/3

143又1/3

40

90

140

    乙可能在顶点追上甲,也可能在边上追上甲,从表中看,在C点时乙没有追上甲,到达B点时,乙已经超过甲,则乙在B、C之间追上了甲,甲在76又2/3秒从C出发,乙在100秒从C出发,乙出发时甲走了了:(100-76又2/3)×1.5=35(米),乙追上甲用时为:35÷(2.5-1.5)=35(秒),这时乙走了35×2.5=87.5(米),因此乙在出发135秒,即2分15秒后在B、C间距C 87.5米处追上甲。

评注:追及过程中有停留的问题使行进快的人在追及后可能被超越,因此这类问题中不但要求追及的情况,还要确认是第一次追及才可以。

例41:图41是一个跑道的示意图,沿ACBEA走一圈是400米,沿ACBDA走一圈是275米,其中A到B的直线距离是75米,甲、乙二人同时从A点出发练习长跑,甲沿ACBDA的小圈跑,每100米用24秒,乙沿ACBEA的大圈跑每100米用21秒,问:1)乙跑第几圈时第一次与甲相遇?2)出发多长时间甲、乙再次在A点相遇?

分析:因为甲、乙沿不同的路线,所以并不谁多跑了一圈就一定有一次超过,超过只可能发生在他们共同经过的路线上。

解答:1)甲跑半圈ACB用时48秒,乙跑半圈ACB用时42秒,也就是如果某次乙经过4点的时间比甲晚不超过6秒,他就能在这一圈追上甲,下面看甲乙经过A点的时间序列表(单位:秒)

0

66

132

198

264

330

0

84

168

252

336

 

   由此可知乙跑第五圈时会第一次与甲相遇。

2)甲跑一圈用66秒,乙跑一圈用84秒,它们的最小公倍数为924,因此924秒即15分24秒后,甲、乙第一次同时回到A点。

例42:甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地,乙比丙晚出发5分钟,出发后45分钟追上丙;甲比乙晚出发15分钟,出发后1小时追上丙,那么,甲出发后多长时间追上乙?

分析:题目中只有时间条件,这就说明用三人速度的比例关系即可解题。

解答:设丙速度为U米/分钟,同乙出发时丙走了5U米,乙用了45分钟追上丙,乙速度比丙速快5U/45=1/9U米/秒,即乙的速度为10/9U米/秒,同样甲比丙晚出发20分钟,用了1小时追上丙,则甲比丙速度快:20U/6=1/3U米/秒,甲速度为4/3U米/秒,甲追乙需用时间为:(10/9U × 15)÷(4/3U - 10/9U)=75(分钟)。

评注:解题中设的丙速度只是为了表示方便,实质上解题过程中只用到了三人速度之比,在只有时间条件的题目中是不可能求出路程或速度的,用比例解题是必然的方法。

例43:甲、乙、丙三个车站在同一公路上,乙站距甲、丙两站距离相等,小明和小强分别从甲、丙两站相向而行,小明过乙站150米后与小强相遇,然后两人继续前进,小明走到丙站后立即返回,经过乙站后450米又追上小强,问:甲、丙两站距离多远?

分析:仔细分析两人两次相遇的行程,可以发现小明第一次相遇走了一倍甲、乙两站间的的距离又多150米,第二次相遇走了三倍甲、乙两站间的距离又450米,第二次路程是第一次的3倍,这就是突破口。

解答:两次相遇小明走的总路程比为1:3,小强也一定相同,注意到从第一次相遇到第二次相遇小强走了600米,由此可知小强在第一次相遇时走了:600÷(3-1)=300(米),甲、丙两站之间距离为:(300+150)×2=900(米),即甲、丙两站距离900米。

评注:观察数据之间的关系,在条件比较少的题目中,这有时候也会有重要作用。

例44:甲、乙、丙三人到学校到体育场的路上练习竞赛走,甲每分钟比乙多走10米,比丙多走31米,上午9点三人同时从学校出发,上午10点甲到达体育场后立即返回学校,在距体育场310米处遇到乙,问:1)从学校到体育场的距离是多少?2)乙的速度是多少?3)甲与丙何时相遇?

分析:题目中距离的条件只有一个,因此以这个条件为中心分析,求学校到体育场距离比较有效。

解答:甲与乙相遇时走了的时间为:310×2÷10=62(分钟),已知甲走到体育场用了1小时,因此2分钟走了310米,甲速度为:310÷2=155(米/分),乙速度为:155-10=145(米/分),体育场到学校距离为:(155+145)×62÷1=9300(米)合9.3千米,甲、乙相遇用时为:2×9300÷(155+124)=66又2/3(分钟),即学校到体育场9.3千米,乙速度145米/分,甲、丙相遇在10时6分40秒。

评注:有时候,根据条件的类型和结论所求也可以推测出大概方法,例如本题,求距离,而题目中只有一个关于距离的条件,这个条件就很重要,这样的分析有助于提高效率。

例45:甲、乙二人进行游泳追逐赛,规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游,直到一方追上一方为止,追上者为胜,已知:甲、乙的速度分别为每秒1.0米和0.8米,问:1)比赛开始后多长时间甲追上乙?2)甲追上乙时两人共迎面相遇了几次?3)比赛过程中,两人同方向游了多长时间?

分析与解答:1)甲追上乙用时为:50÷(1-0.8)=250(秒);2)第一次迎面相遇甲、乙共游了50米,之后每100米相遇一次,甲、乙共游了250×(1+0.8)=450(米),最后一次甲追上乙不算,甲、乙迎面相遇了4次;3)甲游50米用50秒,乙游50米用62.5秒,甲第一次转身后与乙同向游了12.5秒第二次转身后与乙同游了25秒,依次类推,甲、乙同向游了125秒。

评注:注意迎面相遇与追上相遇的区别。

例46:乌龟与小白兔赛跑比赛场地从起点到插小旗处马上返回,跑到起点再返回……已知小白兔每秒跑10.2米,乌龟每秒跑0.2米,如果从起点出发算它们第一次相遇,问:1)出发后多长时间它们第二次相遇?2)第三次相遇距起点多远?3)第二次相遇到第四次相遇乌龟爬了多远?4)乌龟爬到50米时,它们共相遇了多少次?

分析与解答:1)第二次相遇是在小白兔返回时,迎面相遇,用时为:2×104÷(10.2+0.2)=20(秒),即20秒后迎面相遇;2)第三次相遇是小白兔比乌龟多跑一圈后追上乌龟的时候,用时为:2×104÷(10.2-0.2)=20.8(秒),此时乌龟爬了:20.8×0.2=4.16(米),即第三次相遇距起点4.16米;3)第四次相遇是小白兔第二次与乌龟迎面相遇,与上一次迎面相遇相差时间为:2×104÷(10.2+0.2)=20(秒),乌龟爬了:20×0.2=4(米),即第二次与第四次相遇乌龟爬了4米;4)乌龟爬50米用时为50÷0.2=250(秒),小白兔跑了250×10.2=2550(米),在乌龟没到小旗处之前,小白兔每104米中都会与乌龟相遇一次,因此2550÷104=24……,54.54>50,第25次乌龟与小白兔也已经相遇,因此它们共相遇了25次。

评注:这是一道综合题,包括相遇问题、追及问题等,正确判断问题的类型,用适当方法解决也是重要的技巧。

例47:甲、乙二人同时从起点出发沿同一方向行走,甲每小时行5千米,而乙第一小时行1千米,第二小时行2千米,以后每行1小时都比前1小时多行1千米,问:经过多长时间乙追上甲?

分析与解答:乙追上甲时,两人走了相同的时间和路程,因此平均速度也相等,也就说乙追上甲时,平均速度5千米每小时,由于乙每小时速度是一个等差数列,因此平均速度为5千米/时,说明乙最后一小时速度为9千米/时,也就是说9小时后乙追上甲。

评注:非匀速运动中,利用速度的变化规律解题比较有效。

例48:甲、乙两人赛车,第一分钟甲的速度为每秒6.6米,乙速度为每秒2.9米,以后,甲每分钟速度是自己前一分钟的2倍,乙每分钟速度是自己前一分钟的3倍,问:出发后多长时间乙追上甲?

分析:每分钟甲、乙速度都在变,但一分钟内,甲、乙速度是不变的,因此,先确定在哪一分钟追上甲,再求具体时间。

解答:列表比较甲、乙走的路程:

例49:某解放军队伍长450米,以每秒1.5米的速度前进,一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾,那么这需要多少时间?

分析:本题是与排头的追及问题和与排尾的相遇问题的结合。

解答:追排头用时为:450÷(3-1.5)=300(秒),回排尾用时为:450÷(3+1.5)=100(秒),其用时400秒。

评注:队伍行进问题一般都可以归为追及或相遇问题。

例50:某边防站甲、乙两哨所相距15千米,一天,两个哨所的巡逻队同时从各自哨所出发相向而行,他们的速度分别为每小时4.5千米和5.5千米,乙队出发时,他们带的一只军犬同时向哨所方向跑去,遇到甲队时立即转身往回跑,遇到乙队又立即转身向甲哨所方向跑去……,这只军犬就这样不停地以每小时20千米的速度在甲、乙两队之间奔跑,直到两队会合为止,问:这只军犬来回跑了多少路?

分析:如果计算军犬每次向一个方向跑的距离再求和是不可行的。注意到军犬一直在跑且速度始终为20千米/时不变,所以只要求得它跑的总时间即可。

解答:甲、乙两队从出发到相遇用时为:15÷(4.5+5.5)=1.5(小时),这也是军犬不断奔跑的时间,因此军犬总共跑的距离为:20×1.5=30(千米)。

评注:以相同速度行进的路程可以合起来计算,不要拘泥于问题的细节,要从全局观察一下问题。

例51:甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,如果两人同向而行,甲26分钟追上乙;如果两人相向而行,6分钟可相遇,已知乙每分钟行50米,求A、B两地的距离。

分析:相遇问题和追及问题分别与速度和及速度差有关,通过和差也能求得速度关系。

解答:甲、乙两个人速度之和为每分钟行全程的1/6,甲比乙快他们速度之差为每分钟差全程的1/26,通过和差公式,因此甲每分钟走全程的1/2×(1/6+1/26)=4/39,乙走完全程的1/2×(1/6-1/26)=5/78,由此可求A到B全和为:50÷5/78=780(米),即A、B相距780米。

例52:某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行,每7.2分钟有一辆电车迎面开过,每12分钟有一辆电车从后面追过,如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行,问:电车速度是多少?电车之间的时间间隔是多少?

分析:不变的时间间隔,相同的速度,不变的距离间隔就是本题关键。

解答:设两车间隔S米,则对迎面开来的车马行人,S是相遇距离和,对从后追上的电车和行人,S是追及问题的距离差S/7.2=5/36 S是行人与车速度和,S/12是行人与车速度之差,由此可求得行人与车速度和与差的比为5:3,因此车与行人速度比为4:1,车的速度为4.5×4=18(千米/时)行人为速度合75米/分,汽车合300米/分,电车间隔时间为(75+300)×7.2÷300=9(分钟),即电车速度18千米/时,电车间隔时间为9分钟。

评注:在有一定时间间隔的班车问题中,不变的间隔时间、距离是解题关键。

路程(米)

1分钟

2分钟

3分钟

4分钟

396

1188

2772

5940

174

696

2262

6960

    从表中可知在3分钟与4分钟之间乙超过甲,3分钟时甲乙差510米,第四分钟甲速度为52.8米/秒,乙速度为78.3米/秒,乙追上甲用时为:510÷(78.3-52.8)=20(秒),因此乙追上甲总共用了3分20秒。

评注:把不匀速问题分段,使每段成为我们熟悉的匀速问题,这种思想在各类题目中都非常有用。

例53:学校组织春游,同学们下午一点出发,走了一段平路,爬了一座山,然后按原路返回,下午七点回到学校,已知他们步行速度,平路为4千米/小时,上山为3千米/小时,下山为6千米/小时,问他们一共走了多少路?

分析:往返路程可以分为四段,两段平路,一段上山,一段下山,求路程,我们就需要各段的行进时间。

解答:设同学们下山用时为t,由于上、下山路程相等,下山速度是上山的2倍,因此上山时间为2t,两段平路一共用时(6-3t)小时,总路程为:t×6+2t×3+(6-3t)×4=24(千米),即他们一共走了24千米。

评注:本题从条件的数量上并不足够确定平路及山路的长度,因为上、下山平均速度与平路速度相同,因此才能求得总路程。

例54:甲、乙两人以同样的速度沿铁路相向而行,恰好一列火车开来,整个火车经过甲身边用了18秒,2分钟后又用15秒从乙身边经过,问:1)火车速度是甲速度的几倍?2)火车经过乙身边后,甲、乙还需多少时间才能相遇?3)甲步行该火车长度需多长时间?

分析:题目中只有时间条件,因此不能求出具体路程或速度,这样的题目总是用比例求解的。

解答:设火车长为L米,甲、乙步行速度U米/秒,火车速度V米/秒,则由火车经过甲、乙身边的情况,知:(U+V)×15=L=(V-U)×18,U+V=L/15,V-U=L/18,V=(L/15+L/18)÷2=11/180L,U=(L/15-L/18)÷2=1/180L,L=180U,V:U=11:1,因此火车速度是甲速度的11倍,火车经过甲身边时,甲、乙相距为:L+(U+V)×120=1620U,到甲、乙相遇用时为:1620U÷(U+U)=810(秒),因此火车经过乙后到甲、乙相遇还要:810-120-15=675(秒),甲走火车长度的距离用时为:L÷U=L÷1/180L=180(秒),即火车速度是甲的11倍,火车经过乙后675秒甲、乙相遇,甲步行火车全长用180秒。

评注:解答中设的长度与速度只是参数而不是未知数,也就是设这些变量并不是要求它们的值,而是为了便于表示,求它们之间的关系,在求比较复杂的比例关系时,设一些参数便于表示和运算。

例55:某人沿公路前进,迎面来了一辆汽车,他问司机:“后面有骑自行车的人吗?”司机回答:“十分钟前我超过了一个骑自行车的人,”这人继续走了十分钟,遇到了这个骑自行车的人,如果自行车的速度是人步行的三倍,问汽车速度是人步行速度的多少倍?

分析:题目中只有时间条件,显然要用比例解题。

解答:注意汽车超过自行车到遇到行人这10分钟的路程,自行车走了20分钟加上行人走了10分钟才走完,因为自行车速度又是行人的3倍,所以自行车走20分钟的路行人要走60分钟,也就是说汽车走10分钟的路行人要走70分钟,因此汽车速度是行人的7倍。

评注:适当的选取一段路程或时间对解题有很大帮助。

例56:一辆车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原定时间提前1小时到达;如果以原速行驶100千米后再将车速提高30%,也比原定时间提前1小时到达,求甲、乙两地距离。

分析:由于求距离,要特别注意100千米这个条件,寻找与之对应的条件。

解答:提高车速20%,前后两次速度比为5:6,时间比应该为6:5,提前1小时说明原计划用6小时,实际用5小时,同理,在提高车速30%这段距离内,车速比10:13,时间比为13:10,提前1小时说明原计划这段距离用时为:1÷(13-10)×13=13/3(小时)合4又1/3小时,也就是说100千米行驶了6-13/3=5/3(小时),汽车速度为:100÷5/3=60(千米/小时),甲、乙两地距离为:60×6=360(千米)。

评注:本题中比例的运用重要且有效,认真思考可以从中学到很多技巧。

例57:甲、乙两班学生到少年宫参加活动,但只有一辆车接送甲班学生坐车从学校出发的同时,乙班学生开始步行,车到途中某处让甲班学生下车步行,车立即返回接乙班上车,并直接开到少年宫,已知学生步行速度为每小时4千米,汽车载学生速度为每小时40千米,空车速度为每小时50千米,要使两班学生同时到达少年宫,甲班学生应步行全程的几分之几?

分析:若要甲、乙两班学生同时到达,则他们步行的时间和路程一定相等,他们与汽车行进路程如图所示:

screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0>

解答:设全程为S千米,甲、乙两班各步行了a千米,则由出发到汽车遇到乙班这段时间有:

screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0>,计算可得s=7a,a=1/7 S,因此甲班步子行了全程的1/7。

评注:确定甲、乙两班步行距离相等是本题关键。

例58:甲、乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C点,如果甲车速不变,乙车每小时多行5千米,且两车还从A、B两地同时出发,相向而行,则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变,甲车每小时多行5千米;如果乙车速度不变,甲车每小时多行5千米,且两车还是从A、B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点16千米,甲车原来每小时行多少千米?

分析:仔细分析条件,发现第二种与第三种方案甲、乙速度和相同,因此时间相同,这就是突破。                                             

screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0>

图58

screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0>

图59

解答:如图58所示,第二次与第三次相遇地点相距28千米,由于所用时间相同两次甲速度差为5千米/小时,可知所用时间为:28÷5=5.6(小时),比较前两次,甲速度相同,时间第二次减少0.4小时,少走了12千米,由此可求甲速度为:12÷(6-5.6)=30(千米/时)。

评注:条件之间的微妙关系有时也有重要作用,利用这个方法解题不但要观察力,更需要积累经验。

例59:如图59所示,正方形ABCD是一条环形公路,已知汽车在AB上时速是90千米,在BC上时速是120千米,在CD上时速是6千米,在DA上时速是80千米,从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB中点相遇,如果从PC的中点M同时反向各发一辆汽车,它们将在AB上一点N相遇,问:N到A的距离与到B的距离的比是多少?

分析:本题中显然距离是不可求的,所求边是比例,必须用比例求解。

解答:设正方形边长为L千米,DP长为X千米,则由P点出发的车的情况有:

screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0>,由此可求得x=3/8 L,即P在DC上距D 3/8处,由M是PC的中点,M在距D 11/16处。考虑到两辆汽车在各段路上速度相同,因此它们无论从哪里出发,到相遇时所用时间一定都相同,这个时间是辆车跑一圈时间的一半,设AB中点为E,则由上面的结论可推出汽车跑PM的时间与跑EN时间相同,由汽车在AB、CD上速度比为3:2,相同时间内路程比为3:2,PM是DC的5/16,则EN是AB的5/16×3/2=15/32,因此AN为AB的1/32,N到A的距离与到B的距离的比是1:31。

评注:本题要求熟练掌握比例的运用才能解出,大家可以作为对自己的一个检测。

例60:一艘轮船顺流航行120千米,逆流航行80千米共用16小时;顺流航行60千米,逆流航行120千米也用16小时,求水流速度。

分析:求水流速度就必须求出顺流逆流速度,条件中两种航行方法用时相同,这就是关键。

解答:由两种航行方法用时相同,第一种比第二种顺水多行60千米,逆水少行40千米,可知顺水60千米与逆水40千米航行时间相等,因此顺水与逆水航行速度之比为3:2,因此可推得16小时顺水可走120+80×3/2=240(千米),逆水可走120×3/2+80=160(千米),船顺水速度为:240÷16=15(千米/时),逆水速度为:160÷16=10(千米/时),水流速度为:(15-10)÷2=2.5(千米/时)。

评注:比较同时间所走路程或相同路程所用时间都是利用比例关系解题的常用方法。

例61:在一个沙漠地带,汽车每天行驶200千米,每辆车载运可行驶24天的汽油,现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发,并在完全任务后,沿原路返回,为了让甲车尽可能开出更远距离,乙车在行驶一段路程后,仅留下自己返回出发地的汽油,将其他油给甲车,求甲车能开行的最远距离。

分析与解答:甲、乙两车一共有48天的汽油,为了行驶尽量远,可以认为两车返回都使汽油刚好用完,但如果乙车过早返回,它留下的汽油甲车无法全部带走不是最好方案,如果乙车返回晚了,它留下的汽油不能使甲车满载,我们考虑提前一天让乙车返回,就能让甲车走得更远,因此这也不是最好方案,因此可知,乙留给甲的汽油恰好让甲车满载就是最佳方案,因此可知,乙留给甲的汽油恰好让甲车满载就是最佳方法,因此乙8天后给甲骨8天的油然后返回,这样甲车走得最远,它可以用32天的油,最远走:(32÷2)×200=3200(千米)。

评注:设计最佳方案的题不但要说明方案,还需证明这个方案的确是最佳的。

  评论这张
 
阅读(1157)| 评论(0)
推荐 转载

历史上的今天

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2017