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第四单元 分数的意义和性质 (五下)教学计划与教案  

2008-02-20 21:49:12|  分类: 教案 |  标签: |举报 |字号 订阅

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  教学内容          

分数的意义和性质

教科书第60——103页,包括18个例题,“做一做”和练习十一——练习二十中的习题。

教学目标

1. 经历分数产生的过程,理解分数的意义,明确分数与除法的关系。

2. 认识真分数与假分数,知道带分数是一部分的假分数的另一种书写形式,能把假分数化成带分数或整数。

3. 经历分数的基本性质的形成过程,理解和掌握分数的基本性质,会比较分数的大小。

4. 现实情境与数学知识相结合,理解公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数,能找出两个数的最大公因数和最小公倍数,能比较熟练地进行约分和通分。

5. 会进行分数与小数的互化。

6. 培养灵活的思维方式和解决实际问题的能力,培养收集、处理问题的能力。

7. 加强数学知识与现实生活的联系,培养学习数学的兴趣,获得学习的成功体验,增进学好数学的信心。

学情分析

本单元是学生系统学习分数的开始。在三年级上学期的学习中,学生已借助操作、直观,初步认识了分数,知道了分数各部分的名称,会读、写简单的分数,会比较分子是1的分数,以及同分母分数的大小。还学习了简单的同分母分数加、减法。在本学期,又学习了因数、倍数等概念,掌握了2、3、5的倍数的特征。这些都是本单元学习的重要基础。

教学重点

分数的意义;分数的基本性质;约分;通分。

教学难点

建立单位“1”的概念;建立分数单位的概念;分数与除法的关系。

课时安排 20课时

                          分数的产生和意义

  学习内容

教科书第60——61页上的内容,第62页“做一做”,。

 学习目标

1. 了解分数的产生,知道单位“1”不仅可以表示一个实物、一个图形、一个计量单位,也可以表示由一些物体组成的一个整体,理解分数的意义,以及分数单位的含义。

2. 经历观察、讨论、合作交流概括出分数的意义。

3. 培养观察能力和抽象概括能力。

学习重点

理解单位“1”和分数的意义

学习难点

建立单位“1”的概念,突破一个整体为多个物体的集合的学习。

教学过程:

一、教学体会分数的产生。

1、 提问:我们已经认识了哪些数?

如果把一块蛋糕平均分给三个同学,每人得多少块?

如果用米尺来量黑板的长度,能正好得到整数的结果吗?

2、 提问:你知道为什么会出现分数,分数是是怎么产生的吗?说说你的理解

3、 揭示课题:今天这节课我们来研究有关分数的内容:分数的意义。

二、分数的意义。

1、 再现旧知,作好铺垫。

(1)(出示一根火腿肠)把它平均分成两份。

每份怎样表示( 1/2)

(2)(拿出一张长方形纸)折出它的1/2 。

(体会各种形状为什么都用1/2 表示),

(4) 揭示:一个物体,我们可以把它们看作一个整体,可以用自然数1表示,称它们为单位“1”。(把一个物体看作一个整体在三年级已经学过,因此这儿可以处理的简单一些。)

2、 加强直观,探索新知。

(1) 深入理解单位“1”。

①出示红花图。

出示香蕉图学生观察。

提问:你观察到了什么?(4个香蕉平均分成了4份)

揭示:这里,可以把4个香蕉看成是一个整体,即由许多物体组成的一个整体。

提问:1 个香蕉是这个整体的几分之几?为什么?

揭示:这里,由4个香蕉组成的一个整体也可以称作单位“1”。

提问:单位“1”可以是什么?

②出示面包图。

提问:把谁看作单位“1”?

怎么分的?

每份几只?是几分之几?

③小结:由此可见,单位“1”可以是一个物体,也可以是一些物体组成的一个整体,它用自然数1表示,是否就是自然数1呢?为什么?

(把一些物体看作单位“1”是本课的难点,应该从道理上让学生明白,关键让学生掌握把这些物体平均分成了几份)

(2) 概括分数的意义。

提问:通过刚才的学习,我们已经更进一步地认识了一些分数,现在你能说说什么样的数叫做分数了吗?(小组讨论)

揭示:(分数的意义)把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数,叫做分数。

提问:要得到一个分数,必须把单位“1”怎么样?(强调平均分)

练习:P62做一做

情境:

①如果将全班人数看作单位“1”,可以怎么分?得到哪些分数?

②一生起立,你可以用怎样的分数描述他?(把什么看作单位“1”)

3、 自学“分数单位”

阅读课文后学生谈谈是怎样理解的。

三、课堂小结。

谈谈你对本课的体会。

四、课堂练习。

1、 说出下面各分数的意义。

(1)修好了一条路的3/4 。

(2)2/3 米。

(3)国画组里2/5 是一年级新生。

2、 游戏、活动。

数出9根小棒:

(1) 拿走这些小棒的1/3 ;

(2) 拿走剩下的1/2 ;

(3) 拿走一部分,使剩下的是1/3 。

 

  难点点拨

建立单位“1”的概念。“把8块糖平均分给4个人,每人分得几分之几?每人分得几块?”第一问可以根据分数的意义来思考:把8块糖看作单位“1”,平均分给4个人,也就是平均分成了4份,每人分得 ;第二问可以根据除法的意义来思考:把8块糖平均分给4个人,每人分几块,也就是把8平均分成4份,求每份是多少,用除法计算。列式为8÷4=2(块)。

 练习十一习题解答

1. 都是一个物体的几分之几,答案依次是 、 、 、 。

2. 把这套茶杯看作一个整体,也就是单位“1”,把它平均分成了3份,每个茶杯就是这套茶杯的 ;把一盒月饼看作单位“1”,平均分成8份,每块月饼就是这盒月饼的 。

3. 左图中把这些粽子看作单位“1”,平均分成了4份,每袋粽子就是这些粽子的 ;右图中,把这盒跳棋看作单位“1”,每种颜色的跳棋就是这盒跳棋的 。

4. 在给郁金香涂色时,可以把其中一束花涂成红色,其它两束——即 涂成自己喜欢的颜色;在给气球涂色时,选择1组涂绿色,另一组——即 选其它颜色就可以了。

5. 本小题是含有两个知识点。①根据分数的意义,把12块饼干看作单位“1”,平均分成3份,每人分得 包;②涉及到分数表示的实际数量,这是一个难点,可以通过实际操作完成。 包是4块。

6. 本题是一道实际应用的题,可以结合生活实际举例,在举例中进一步认识分数。

7. (读作八分之一)表示把人的身高看作单位“1”,头部的高度占整个身高的 ; (读作五分之三)表示把整个长江的干流看作单位“1”,受污染的部分占整个长江干流的 ; (读作十分之三)表示把死海表层的水看作单位“1”,含盐量占死海表层水的 。

8. 读作六分之一, 读作七分之二, 读作是十五分之四, 读作十八分之十一, 读作一百分之七。它们的分数单位分别是: 、 、 、 、 。

9. 本题有两个知识点:一是根据分数的意义涂色,是把12个苹果平均分成了2份,1份有6个苹果; 是把12个苹果平均分成了3份,1份有4个苹果; 是把12个苹果平均分成了4份,1份有3个苹果; 是把12个苹果平均分成了6份,1份有2个苹果; 是把12个苹果平均分成了12份,1份有1个苹果。二是在涂色中感受平均分成的份数越多,每一份越少,也可以说随着分母的增大,几分之一所表示的苹果个数,从 的6个到 的1个,相应地在减少。

                          分数与除法 

学习内容                

教科书第65——66页例1、例2、例3及“做一做。

学习目标

1. 理解并掌握分数与除法的关系,知道如何用分数来表示除法算式的商。

2. 培养动手操作的能力,合作交流的能力,发展逻辑思维和分析处理问题的能力。

3. 培养探索和思考的习惯及转化的思想。

学习重点

掌握分数与除法的关系。

学习难点

具体体会每一个商的由来,它具体表示的意义。

教学过程

一、创设情境 导入新课

1.把6个蛋糕平均分给3人,每人分几个?

 3个蛋糕平均分给3人,每人分几个?

小结:把一个数平均分成几份,求1份是多少,要用除法计算。

(用这种推理的方法更能使学生理解分数与除法的关系)

2.口答。

2÷3=          4÷7=

提问:你能直接说出它的准确商是多少?

3.导入:

    两个自然数相除,在不能整除的时候,就可以用分数来表示除法的商。究竟怎样用分数来表示除法的商呢?这就是今天要学习的分数与除法的关系。学完了分数与除法的关系,你就能很快说出这里除法算式的商了。

二、探究新知

1、 教学例1。

(1) 出示:把1个蛋糕平均分给3人,每人分几个?

(2) 提问:这道题怎样列式,为什么?

            谁能根据分数的意义说出1个蛋糕平均分成3份,结果每人分多少个?

      追问:为什么1÷3等于1/3  ?用一个圆形纸片演示得出商。

2、 教学例2。

(1) 出示例2

(2) 提问:把3块饼平均分成几份,求1份是多少怎样列式?

            3÷4的商是多少呢?请大家拿出3张同样的圆形纸片,把它看做3块饼,并按题目要求平均分成4份,看1份是多少?

   (方法一:先把每个圆平均分成4份,再把12份平均分给4人,每人分得3份,把3份拼在一起,就得出每人分得 3/4块。

    方法二:按主题图的方法,把3个圆摞在一起,平均分成4份,再把每份的3个1/4 块拼在一起,得到每人分得3/4 块。

    方法三:操作与推理相结合。1块月饼平均分给4人,每人分得1/4 块,3块月饼平均分给4人,每人分得3个1/4 块,是3/4 块。)

(3) 说明:我们把3块饼平均分成4份,每份是3个1/4 块,3个1/4 就是3/4 块。

  3、 说明 3/4的意义。

(1) 提问:谁来说一说,3/4 表示什么意义?

            这里的3÷4表示什么意义?这个商 3/4表示什么意义?

(2) 指出: 是把单位“1”平均分成4份,表示这样3份的数;

              也可以看做把3平均分成4分,表示1份的数,即3除以4的商。

4、 总结分数与除法的关系。

(1) 请同学们观察上面两道算式,你发现用分数表示除法的商时,被除数、除数和分数的分子、分母有什么联系?

(2) 根据刚才发现的规律,分数与除法有这样的关系:

      被除数除以除数,商可以写成分数,用除数做分母,被除数做分子。被除数÷除数=

      反过来看,分数的分子就相当于被除数,分数线相当于除号,分母相当于除数。

(3) 提问:这个关系式里每个数的范围要注意什么?

      指出:因为在除法里除数不能为零,所以分数的分母也不能为零。

      提问:如果用a表示被除数,b表示除数,那么这个关系式可以怎样写?要注意什么?

      板书:a÷b= (b≠0)

(4) 小结:分数与除法有什么关系?它们有什么区别?

      指出:在分数和除法的联系里,分子相当于被除数,分母相当于除数,分数和除法都表示两数相除的关系;不同的是分数是一种数,除法是一种运算。

  (分数与除法的关系。(1)当用分数表示整数除法的商时,要用除数作分母,被除数作分子。反过来,一个分数也可以看作两个数相除,分数的分子相当于除法中的被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号。(2)在整数除法中,除数不能是零;在分数中,分母也不能是零。(3)分数与整数除法的关系用字母来表示更为简明,用字母表示时,要注明b不等于0。(4)分数与除法,除了有联系外,还有区别。除法是一种运算;分数是一种数,但是也可以看作两个数相除。)

(5) 练一练:第66页第1题

  5、 教学例3。

出示例3后让学生试分析,说明理由。   

可以根据分数与除法的关系计算,也可以根据分数的意义来解答。 (例1、例3两个例题都是求具体的“量”是多少,所以都要写单位名称,在处理练习题时应使学生分清楚求的是“量”还是“数”)                            

   练一练:第66页第2题

   做完后说说是怎样想的。

三、巩固练习。

  练习十二         1--3

  难点点拨  具体体会每一个商的由来。可利用具体实物,图形相结合的手段来进行。要注重在大量的数学活动和数学信息中感知知识产生和发展的过程。在实际解决问题的过程中,会遇到这样容易出错问题:“把2米长的绳子平均分成5段,每段占这根绳子的几分之几?每段长几分之几米?”解决的关键就是解答第一问根据分数的意义,解答第二问先根据除法的意义列出除法算式,再根据分数与除法的关系得出商。

 

  练 习 十 二 解 答                   

1. 可以用除法计算解决的实际问题。每袋重多少千克,列式为1÷2,商可以是0.5,也可以是 ;平均装在3个袋中,每袋多少千克,列式为1÷3,商用分数 表示比较方便。注意强调两个商都是“量”,而不是“数”,所以都必须带上单位名称。

2. 明确要求用分数表示。答案是 m2 、 m2 。

3. 答案:9cm= dm    30cm= m(或 m)    133dm3= m3    79dm= m         56cm2= dm2    53ml= L。

4. 通过拟人化的生活插图,给出了一个条件。解答此题有两种方法,基本方法是把地球的质量看作单位“1”,平均分成81份,月球的质量相当于其中的1份,进而直接写出答案。拓展的方法是把月球的质量看作1份,地球的质量看作81份,列出1÷81的算式,再根据分数与除法的关系得到结果是 。

5. 本小题有两种方法。第一种是根据分数的意义直接写出答案,即把1千米平均分成15份,其中的1份就是 千米;第二种是根据路程与时间的关系,列出除法算式1÷15,并根据分数与除法的关系得出 千米。

6. 本题要引导观察图意,第一幅图有两种思路。思路一:根据分数的意义直接写出答案,即把15个橙子看作单位“1”,平均分成了5份,每袋橙子就是这盒橙子的 ;思路二:根据图意用除法列式为1÷5,再根据分数与除法的关系得出 。第二幅图的思路与第一幅图相同,答案为 。

7. 直接根据分数的意义写出答案: 、 。

8. 解答本题根据除法的意义列式为5÷6,再根据分数与除法的关系得出每人分得 m。

9. 解答本题有两种思路,可仿照第4题的方法。答案是 。

                         真分数和假分数

  学习内容  

教科书第69页例1、例2,第70页“做一做”,练习十三第1——3题。

  学习目标

1. 理解真分数、假分数的意义,能正确地区分真分数、假分数。

2. 培养观察、比较、抽象概括的能力。

3. 感受数学图形的美,感受数学的价值,培养刻苦钻研,不怕困难的学习精神和良好的学习习惯。

   学习重点

理解和掌握“真分数”和“假分数”的意义和特征。

  学习难点

认识假分数的意义。

   教学过程

   一、谈话导课

    教师:到现在我们学过了整数、小数、分数,那么,分数中分子、分母的大小有几种情况呢?它们又是怎样分类的?这就是今天我们要学的内容。

   二、学生自主学习活动

(一)自主认识真分数和假分数

1、 出示例1的图形,学生用分数表示各图中阴影部分的面积,学生汇报,教师板书这3个分数。

2、出示例2的图形,学生用分数表示各图中阴影部分的面积,学生汇报,教师板书这2个分数。

(学生写这3个分数会遇到困难,可以以4/4为基础,把一个圆平均分成4份,分母是4,表示这样的4份,分子也是4,写成4/4 。中图和右图可以采用同样方法进行学习。然后说明,像4/4 、7/4 、11/5 这样的数也是分数。)

 观察:这些分数可以分成几类?分类的依据是什么?(分子与分母的大小关系)

    思考:它们比1大,还是比1小?为什么?

3、 这样的两类分数分别叫什么分数?请同学们自学课本第69——70页的内容

4、 学生汇报自学情况

(1) 什么叫真分数?什么叫假分数?假分数的分子、分母的大小包括几种情况?

(2) 请你举出几个真分数和假分数的例子。

(二)练习

1.完成“做一做”1、2

2.完成练习十二第1-3

 

 难点点拨

1. 假分数的意义。由于是第一次接触假分数,往往受已有经验的影响,认为只有分子比分母小才是分数,难以建立起假分数的意义。其实,分子可以比分母与分母相等。如 表示把单位“1”平均分成了4份,有这样的5份,而5份中的4份正好组成“1”,所以 比1大,它是由1与 组成的数; 表示把单位“1”平均分成了4份,表示其中的4份。

2. 在数轴上找出相应的真分数和假分数。例如上述“做一做”第2题中 ,它是一个真分数,表示把单位“1”平均分成了3份,表示其中的一份,在数轴上找到相应的点。 它是一个假分数,等于1。 它是一个假分数,表示把单位“1”平均分成了6份,表示其中的13份,在数轴上找到相应的点。

                     假分数化成整数或带分数

  学习内容

认识带分数,把假分数转化成整数或带分数

教科书第70页例3、71页例4,第71页“做一做”,练习十三第4——13题。

学习目标

1. 理解带分数的意义,会读、会写带分数;能正确地把假分数化成整数或带分数。

2. 培养分析、理解、抽象概括的能力。

3. 渗透转化的数学思想。

学习重点

理解分数按分子、分母倍数关系的分类,初步掌握假分数化成整数或带分数的算理和方法。

学习难点

理解带分数是假分数中分子不是分母的倍数时的另一种书写形式,探索把假分数化成带分数的算理和方法。

教学过程

一.认识带分数

1.出示例3图形,用分数表示阴影部分的面积,教师说明也可以用1+1/2表示,写作  ,请会读的同学教读法。

2.说明像这样的分数叫带分数。

3.与1比较大小。引导把带分数与1进行大小的比较,知道带分数都大于1,在数轴上表示的带分数都在1的右边。                                                  

二.认识如何把假分数化成整数

1.出示8个分数,让学生分类,并说出分类的依据。

 第一类  方法一:直接根据分数的意义得出 =2。

         方法二:根据分数与除法的关系得出 =8÷4=2。

为了建立起两种方法的联系,也可以这样思考: 是8个 , 4个 是1,而8÷4=2,所以8个 是2,也就是 =8÷4=2。由此归纳出:当假分数的分子是分母的倍数时,可以用分子除以分母,把假分数化成整数。

2.总结第一类:有些假分数的分子恰好是分母的倍数,这样的假分数实际上是整数,根据分数与除法的关系,可以把这样的假分数化成整数。

3.出示:把下面分数化成整数。

  

思考:怎样的分数能化成整数?(分子恰好是分母的倍数,这样的假分数能化成整数。)

第二类:通过观察发现 、 的分子都不是分母的倍数,把这样的假分数化成带分数也有两种转化的方法  

方法一: 是7个 ,其中6个 化成了整数2,还剩1个 ,整数2和 合起来就是 。

方法二:根据分数与除法的关系,得出 =7÷3,商2是带分数的整数部分,余数1是分数部分的分子,分母不变,仍是3,由此的出 = 。

  总结第二类:把假分数转化成带分数,用分子除以分母,商是带分数的整数部分,余数是分数部分的分子,分母不变。

4.总结: 

把假分数转化成整数或带分数,用分子除以分母:

a.分子是分母倍数的,商是整数。

b.分子不是分母的倍数的,商是带分数的整数部分,余数是分数部分的分子,分母不变。

 5、 练习:完成“做一做”。

三、课堂巩固。

完成练习十三第4-8题。

   

难点点拨

根据分数与除法的关系把假分数化成带分数,但是在解决实际问题时往往会出错。出错的原因有的是计算有误,更主要的是不能掌握把假分数化成带分数的方法。有一个小窍门可以帮助你,就是“两对应,一不变”。“两对应”是指商      整数部分,余数      分子 ,“一不变”指分母不变。

练习十三解答

  1. 真分数                                        假分数

2. 仔细观察图,先确定单位“1”,再写出分数。答案: 、 。

3. 根据分数的意义并结合实际,作出判断。

(1) ×   因为把1个西瓜看作单位“1”,吃的西瓜对应的分数应等于或小于1,绝不会大于1。

(2) ×   因为把这块地看作单位“1”,西红柿、茄子、和辣椒对应的分数和是 ,大于1了。

(3) √   因为把这块巧克力看作单位“1”,我和表哥一共吃了 ,没有超过1。

4. 答案:   

5. 可以根据分数与除法的关系解答。3人平分,列出算式:3÷3= =1,因此,平均每人分 杯,也就是1杯;2人平分,列出算式3÷2= ,因此平均每人分 杯。

6. 通过填数,感悟所填假分数和带分数的大小。从左往右,依次是 、 、 、 、 、 、 。

7. 本题与第5题相似。可以先根据题意列出除法算式10÷3,再根据分数与除法的关系写出带分数。答案是 。

8. 本题是求一个数是另一个数的几分之几的实际问题。同时渗透了倒数的概念。可以根据分数的意义直接写出答案,也可以先列出除法算式,再根据分数与除法的关系写出答案。答案: 、 。(注:这部分知识以后还会学到,如果感到困难,可以跳过去不练。)

9. 本题与第8题解题的方法相同。答案: 。

10. 要求分别用假分数和带分数表示图中的涂色部分,进一步认识带分数是假分数的另一种书写形式。答案: 或     或 。

11. 本小题与第8、9题的解题方法相同。答案是 。

12. 先看表回答课本上的问题,再引导发现规律:从各行中找出分子与分母相同的分数,即 , , , ,这些都是等于1的假分数,并且呈一条斜线,这条斜线右边的数是大于1的假分数,这条线的左边是真分数。

13. 答案:

(1) , , , , , 。

(2) , , , , , , 。

 

分数的基本性质

学习内容

教科书第75——76页例1、例2,第76页“做一做”。

学习目标

1. 经历探索分数基本性质的过程,理解并掌握分数的基本性质。

2. 培养抽象、概括、迁移类推能力及解决实际问题的能力。

3. 通过学习,培养严谨的学习态度,体验探索的成功与喜悦。

学习重点

探索分数的基本性质,并会应用分数的基本性质解决问题。

学习难点根据整数除法中商不变的性质之间的关系总结、归纳分数的基本性质。

 

教学准备:每人准备4张同样大小的长方形纸(大小不限)

教学过程:

一、复习导入。

1、 根据分数与除法的关系填空。

    被除数÷除数         说说:分数与除法的关系。

2、 提问:80÷20的商是多少?

被除数、除数都扩大5倍,商是多少?被除数和除数都缩小10倍呢?

          回忆商不变性质(被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),商不变。)

(商不变的性质是学习分数基本性质的基础,所以这里的复习很有必要。)

二、 新课。

1、 动手做数学。

(1) 把4张相同的纸条分别平均分成2、4、6、8份,表示出1/2、2/4、3/6、4/8。

(涂上阴影)

(2) 提问:比较它们的长度、有什么发现?能根据分数的意义加以说明吗?

(3) 结论:几个分数虽然分母、分子都不相同,但大小是相等的。

2、 设疑:为什么分子、分母都不同的几个分数可以相等,它们之间有什么规律呢?

(1) 观察并研究分子、分母是按什么规律变化的?

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8  学生观察的顺序可以自选。

(2) 学生发现并归纳得出的规律(揭示:分数的基本性质):

分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数分数的大小不变。

(3) 理解意义

提问:刚才我们根据分数的意义来说明分数的基本性质的。能不能根据分数与除法的关系和商不变的规律来说明呢?

      先回忆商不变规律,然后想分数与除法的关系。突出关键点:零除外。(因为分数的分子和分母同时乘上0,则分数成为0/0 ,而分数的分母不能为0;又因为0不能作除数,所以分数的分子和分母不能同时除以0,因此要“0除外”。)

将分数的基本性质补充完整。

3、 应用性质、解决问题。

(1) 指出:应用分数的基本性质可以把一个分数化成分母不同而大小相等的分数。

(2) 把3/4和15/24化成分母是8而大小不变的分数。

      要求:独立思考解答、交流方法

(3) 师生一起总结方法:

看分母(分子)乘或除以几、分子(分母)也同时乘或除以几。

(4) 独立完成练一练。

      重点是:学生要能自觉根据分数的基本性质观察分母或分子是怎样变化的,相应地分子或分母就怎样变化。

      变化的依据是分数的基本性质

(5) 口答练习十八第2题并说明判断的依据。

4、 全课总结:你能将这节课的内容及重点归纳概括一下吗?

5、 作业:完成练习十四1.2

  理解并掌握分数的基本性质,同桌互相说分数并指定分母或分子让另一个同学化。

 

难点点拨

在运用分数的基本性质时,会出现以下几种错误:

①忽略了“同时”。举例说明 = = 是错误的,只是分子乘2,分母不变,正确答案应是 = = 。

②忽略了“乘上或者除以”。举例说明, = = 是错误的,因为分子和分母同时加上或者同时减去相同的数,分数的大小变了。在分数的基本性质中只限于“乘上或者除以”。

在理解分数的基本性质时要注意三点:必须强调“同时”;必须强调“乘上或除以相同的数”;必须强调“0除外”。

③忽略了“相同的数”。举例说明, = = 是错误的,因为分子和分母应同时除以相同的

 

  练 习 十 四 解 答

1. 解答本题时,先按要求根据提供的分数进行涂色,第1幅图涂1份,第2幅涂2份,第3幅涂3份。然后通过观察涂色部分的大小,很容易的得出 与 相等, 比 、 小的结果。除了借助观察得出结果,还可以根据分数的基本性质, 和 都化成 ,由此确定 与 相等,再根据三年级判断分数大小的经验,确定 比 小,也就是 比 、 小。

2. 本题是运用分数的基本性质解决实际问题。可以把 化成 ,或者把 化成 ,再作比较。答案是两个小组的人数同样多。

3. 这种游戏适合在两人间进行,通过对答可以巩固分数的基本性质。

4. 在解答此题时,可以运用分数的基本性质来判断哪几个数是相等的,然后在直线上把这个点画出来。先把这些分数化成与原分数相等的分母最小的分数。

=     =     =         =    

                        

2

1

0

                                                  

5. 本小题有两种方法是。一种是算出10分钟占一堂课40分钟的 ,另一种是推算出一堂课40分钟的 是10分钟。答案是两个班用的时间一样长。

6. 答案是 、 、 、 。

7. 左图应涂2份,用分数 表示。右图也应涂2份,用分数 表示。

8. 答案: ==       ==

       ==       ==

9. 解答此题有两种思路。

思路一:把所有的分数都化成分子是1的分数,再比较大小。

思路二:把所有的分数都化成分母是16的分数,再比较大小。答案是“知识城堡”“活动乐园”“生活园地”的版面一样大;“历史足迹”“开心一刻”的版面一样大。

10. 解答此题有三种思路。

思路一:把所有的分数都化成分母是100的分数,再进行大小比较。

思路二:把所有的分数都化成分母是25的分数,再进行大小的比较。

思路三:把所有的分数都化成分母是50的分数,再进行大小的比较。

不管用哪一种方法,都可以说明三个分数是相等的,也就是他的说法是对的。

                                 求两个数的最大公因数

学习内容

教科书第79——81页例1、例2,第80、81页“做一做”,练习十五第1——3题。

学习目标

1. 理解并掌握公因数和最大公因数的意义。

2. 经历探索求两个数的最大公因数的方法的过程,能正确地求两个数的最大公因数。

3. 通过学习,提高自己解决实际问题的能力。

学习重点

公因数和最大公因数的意义,会求两个数的最大公因数。

学习难点

求最大公因数的方法。

  教学过程  

一、利用旧知,初步理解

1、          找出16和20的因数分别填写到圆圈内。

2、          如果把这两个圆圈交叉,把16和20的因数填写到这两个交叉的圆圈中,你能给他们找到位置吗?中间这部分该如何填写呢?

3、          交流答案。

4、          中间这部分填写的1、2、4就是16和20的公因数,其中的4就是它们的最大公因数。你能用自己的话说说什么是公因数,什么是最大公因数吗?

5、          这节课我们就来一起研究找两个数的最大公因数。

二、    自主学习,探究规律

1、          出示:21和24    你能找出21和24的公因数和最大公因数吗?

2、          汇报:

你是怎么找出的?有不同的方法吗?找最大公因数时在哪些数里找?

3、          出示:找出下面每组数的最大公因数:(小组研究交流)

8和16  20和10    1和14   5和7   3和11 

4、          汇报:分别观察这几组数的特点,你有什么发现?  你还能找出这样的一组数吗?

(根据实际情况,本课教学还是把旧教材中互质数、分解质因数、短除法纳进来,以利于最大公因数的教学。)

三、运用规律,巩固知识

请你找出下列分数分子和分母的最大公因数:

8/12  6/18  8/9  5/11  15/21  1/20  13/26

四、拓展应用,训练思维

1、          面包店的师傅制作了18个巧克力蛋挞,24个草莓蛋挞。面点师傅现在要把这两种糕点分别装到包装盒里摆到柜台上出售,每一盒数目相同,而且没有剩余。你知道都可以几个装一盒吗?哪种最实用呢?你是怎么想的?

2、          老师新买的房子,房子的厨房长30分米,宽24分米,要铺正方形瓷砖,需要边长为多少分米的方砖才能铺得既整齐又节约?你是怎么想的?选择哪种比较合适呢?

3、          我们一起来做个游戏,学号是1的同学起立,表示你学号的数字和1的最大公因数是1的同学起立。这说明什么?2号同学起立,代表你学号的数字和2的最大公因数是1的同学起立,你们都是几号?你有什么发现?在你的小组找一找两个同学之间学号数字的最大公因数。

   求两个数的最大公因数有个小窍门:

1.连续的两个自然数的最大公因数一定是1。

2.两个质数的最大公因数一定是1。

3.当两数成倍数关系时,较小的数就是它们的最大公因数。

4.当两数只有公因数1时,它们的最大公因数是1。  

 难点点拨

 求两个数的最大公因数只靠找的方法适合于较小的数。当两个数较大时很难找到。因此,用分解质因数的方法必须要掌握。可以仿照上面“做一做”的做法,先把每个数分解质因数,再把它们公有的质因数相乘

  练 习 十 五 解 答

1. (1)10和15的公因数有:1,5。   (2)14和49的公因数有:1,7。

2. 巩固求两个数的最大公因数的方法。答案是:

6和9的最大公因数是3;        15和12的最大公因数是3;

42和54的最大公因数是6;      30和45的最大公因数是15;

5和9的最大公因数是1;        34和17的最大公因数是17;

16和48的最大公因数是16;     15和16的最大公因数是1。

3. 答案是:(1)A;(2)D;(3)C。

4. 答案是:1,4,18,3。

5. 从下往上分别是:5,3,6,12,36。

6. 本题的答案是不唯一的,可以各举一个例子。(1)两个数都是质数:2和3;(2)两个数都是合数:4和9;(3)一个质数一个合数:3和8。

7. 本题是两数的最大公因数在生活中的应用。可以这样思考:“剪出同样大小的正方形而没有剩余”,也就是正方形的边长必须是70和50的公因数,“边长最大是几厘米?”也就是求70和50的最大公因数。70和50的最大公因数是10,因此,剪出的小正方形的边长最大是10厘米。

8. 两数的最大公因数的实际应用。“要使每排人数相同”,每排的人数必须是48和36的公因数,“求每排最多有多少人”也就是求48和36的最大公因数。48和36的最大公因数是12,因此,每排最多有12人。这时,男生有48÷12=4(排),女生有36÷12=3(排)。

9*. “要把它们截成同样长的小棒”,每根小棒的长度应是12、16、44的公因数,“每根小棒最长是多少”就是求12、16、和44的最大公因数。12、16和44的最大公因数是4,因此,每根小棒最长是4厘米。

                                    约分                   

 学习内容

教科书第84——85页例3、例4,第84页和第85页的“做一做”,练习十六第1——3题。

学习目标

1. 在具体的情境中理解最简分数的意义,在自主探索中理解约分意义,并学会约分的方法。

2. 培养抽象、概括能力及初步运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 培养自主探索的良好学习习惯,感受数学与现实生活的密切联系。

学习重点

理解最简分数和约分的意义,探索出约分的方法。

学习难点

能否很快地找出分子和分母的公因数,判断结果是不是最简分数。

教学用具:实物投影仪、白纸、作业纸。

教学过程:

一、        导入。折纸活动。

1、             把一张纸平均折成若干份,给其中几份涂上颜色,汇报所得到的分数。

板书:1/2、1/4、1/8、2/4、3/4、2/8、、、、、、

2、             在分数大小不变的情况下,哪些分数的分子、分母不能再变小了?为什么?

小结:分子、分母是互质数的分数叫最简分数(板书)举例子。

(可进行专项练习,判断每组数是否是互质数:4和5  8和9  4和6  7和9  4和9  12和16等) 

3、             那么,哪些分数的分子、分母还可以再变小?为什么可以?什么变了?什么没变?(再看看自己的纸想一想原因)

4、             小结:把一个分数化成大小不变、但是分子、分母比较小的分数的过程就是“约分”。(板书)今天我们就来学习这个内容。

二、        自学研究。

1、             问:关于约分,你还想通过看书了解什么知识?(意义、方法、作用、、、、、)

2、             看书、交流、质疑。

什么叫约分?关键是什么?根据是什么?方法是怎样?约分前后什么变了?什么没有变?大小不变

(相机板书:一个分数 ————→最简分数)

3、             教师板书示范:(黑板上几个) (注意强调书写格式,两种方法都可以,提醒学生约分后认真观察分子分母是不是互质数。)

4、             学生尝试约分:10/16  16/10    1又 6/8

三、        巩固练习。

1、             指出下面哪些分数是最简分数。你发现什么规律了吗?

1/2、1/3、1/4、4/5、2/3、5/6、11/12、10/15、9/12、11/7、3/1、1 又4/8

2、             把下面分数约分。10/12、12/15、15/25、21/35、45/60、40/90

3、             判断并且改错。

把一个分数化成分子、分母都比较小的分数,叫做约分。(  )

分子和分母的公约数只有1的分数是最简分数。(  )

最简分数一定是真分数。(  )

6/8约分以后,分数单位变小了。(  )

11/33、17/51、13/39、19/57都是最简分数。( )

4、             拓展题。

1、五、一节庙会,小华和小明进行枪打气球比赛。小华打了15枪中了12枪,小明打了10枪中了8枪。谁的枪法好些?

        2、走同样长的路,甲用了18/30小时,乙用了16/20小时。谁的速度快些?为什么?

        3、比较下面分数的大小。

            4/14    10/25    30/50

四、 回顾总结。1、有什么收获与疑惑?有没有约分解决不了的问题呢?

2、有没有建议?

  难点点拨

1. 不能很快看出分子和分母的公因数或者最大公因数。平时要加强找公因数和最大公因数的训练。

2. 约分的结果不是最简分数。如: = ,应是: = = 。

  练 习 十 六 解 答

1. 左图用 来表示,右图用 来表示,根据图示可以得出蓝色部分和红色部分同样大,也就是 = 。可以用分数的基本性质来解释: 的分子、分母同时除以2,得到了 ,分数的大小不变。也可以继续思考: 的分子、分母也同时除以2,就可以得到 ,即 = 。

2. = =             = =

3. 先根据最简分数的概念,判断哪些已经约成了最简分数,哪些还没有约成最简分数,然后把不是最简分数的继续约成最简分数。第2题约成了最简分数,第1、3、4题都没有约成最简分数。解答本题有两种格式:

(1) = =      = =      = =

(2) =          =           =

4. 可以用画连线的方法,也可以用标序号的方法,还可以用列举的方法表示答案。以列举法为例解答如下:

:        

           :    

在约分时,遇到分母是分子的倍数时,分母是分子的几倍,约分后就是几分之一。

5. 三组分数都可以通过约分,化成最简分数,再比较大小。

(1) = , = 。因为 = ,所以 = 。

(2) = , = 。因为 > ,所以 > 。

(3) = , = 。因为 < ,所以 < 。

6. 先把这些分数约分, =   =   =   =   = ,可以确定 = = , = 。在直线上表示如下:

                             

1

0

                                                     

               

7. “求进入决赛的队占所有参赛队的几分之几?”用除法计算,列式为6÷32,根据分数与除法的关系得出:6÷32= , 不是最简分数,因此把 约分,得到了 。

8. 根据图中的两个时钟,可以得出睡眠的时间是9小时,求“每天大约有几分之几的时间处于睡眠状态?”用除法计算,列式为9÷24,根据分数与除法的关系得出:9÷24= , 不是最简分数,因此把 约分,得到了 。

9*. 这是一道需要逆思考的习题。“用2约了2次,用3约了1次”,说明原来的分数在约分的过程中,分子和分母同时乘以2×2×3=12,才得到 。要求原来的分数,就要把 的分子和分母同乘12,即: = = 。

辅导纪录:

学习约分后,学生往往不能一次约分成功,因为是初学,可以对一个分数进行多次约分,熟练之后再要求学生找到最大公约数进行约分.

 

 

  最小公倍数

  学习内容

教科书第88——90页例1、例2,第89、90页“做一做”,练习十七的第1——3题。

学习目标

1. 在自主探索中掌握公倍数和最小公倍数的意义,经历求最小公倍数的方法的过程,能正确地求两个数的最小公倍数。

2. 鼓励方法多样化,用自己理解的方式合理、灵活地解决问题,体会方法的多样性与合理性。

3. 继续培养自主探索、合作交流和从不同角度思考问题的良好学习习惯。

4. 感受数学与现实生活的密切联系,体会生活的丰富多彩。

学习重点

建立公倍数和最小公倍数的概念,掌握求最小公倍数的方法。

学习难点

理解求最小公倍数的算理。

教学过程

一、再现原有知识结构

    1、用短除法求30与45的最大公因数

    独立完成,一人板演,集体订正。

    师提问:怎样用短除法求两个数的最大公因数?

二、构建新的知识结构

     1、揭示课题   今天我们来研究最小公倍数。(板书课题)

     2、明确意义

     师:你认为什么是最小公倍数?

    (公倍数可以是两个数公有的倍数,也可以是三个或四个数公有的倍数。应改成几个数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个是它们的最小公倍数。)

生说完师出示,齐读。

    3、探讨求法

    出示:求4与5的最小公倍数。

    师:你认为可以怎样求两个数的最小公倍数?

    (1.用短除法 2.用分解质因数的方法。3.把两个数直接相乘       4.先写出一个数的倍数,再写出另一个数的倍数。通过比较找出两个数的最小公倍数。)

    师:请你们用这种方法求出4与6的最小公倍数。

    学生独立完成,一人板演。

        4的倍数:4、8、12、16、20……

        6的倍数:6、12、18、24、30……

      4与6的最小公倍数是12

    集体订正后,师问:用集合圈怎样表示?

    学生独立完成,一人板演。板书如下:

          4的倍数      6的倍数

          4   8          6  18

          16  20   12    24  30

           …             …

                   ↑

          4与6的最小公倍数

      说明:中间交叉的地方不能只填最小公倍数,它们公有的地方应填它们的公倍数。还要填24  36…

     师:还可以用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数。先把这两个数分解质因数,找出它们公有的质因数,再找出它们独有的质因数,然后用它们公有的质因数去乘它们独有的质因数就求出了它们的最小公倍数。(板书如下)

                  4= 2 ×2

                  6= 2 × 3

                  4与6的最小公倍数是2×2×3=12

    独立完成第89页做一做。

   下面就以小组为单位研究短除法。

    试求18与30的最小公倍数

    小组合作完成,一组板演并讲解:先用它们公有的质因数2去除,再用3去除,3与5互质。所以18与30的最小公倍数是2×3×3×5=90。(生讲解师板书)

        公有的质因数→ 2  18    30

        公有的质因数→  3  9     15

                           3    5   ←互质数

    师提问:用什么数去除?除到什么时候为止?把哪些数相乘?为什么?

  联系:用短除法求30与42的最小公倍数。

    独立完成,说说解答过程。

巩固练习:第90页做一做,找出发现的规律。

   求两个数的最小公倍数的特殊情况:

1.当两个数是倍数关系时,较大的数是它们的最小公倍数。

2.当两个数只有公因数1时,它们的乘积就是它们的最小公倍数。

小窍门:求两个数的最小公倍数时可以先找出较大数的倍数,在从这些倍数中依次找较小数的倍数;如果数字较大,则可以用短除法。 

难点点拨

如何很快地找出两个数的最小公倍数。求两个数的最小公倍数靠“找”的方法只适合于较小的数。当两个数较大时,很难找到。因此用分解质因数的方法可以帮助我们。可以仿照第92页“你知道吗”的做法,先把每个数分解质因数,再把它们公有的质因数和它们独有的质因数相乘。

  练 习 十 七 解 答

1. 解答本题有两种思路:

思路一:先分别从小到大写出每个数的几个倍数,从中找出两个数的最小公倍数,再依次写出小于90的其它的公倍数。最后进行判断。

以21和14为例。

21的倍数有21,42,63,…

14的倍数有14,28,42,…

21和14的公倍数是42,84…

21和14的公倍数中有84,没有36和48。

按以上的方法可以得出:6和18的公倍数中有36,没有48和84。

12和8的公倍数中有48,没有36和84。

思路二:分别判断36,48,84是不是每组两个数的倍数。如果是,公倍数中有这个数,如果不是,公倍数中就没有这个数。

以21和14为例。

36既不是21的倍数,也不是14的倍数,21和14的公倍数中没有36;

48既不是21的倍数,也不是14的倍数,21和14的公倍数中没有48;

84既是21的倍数,也是14的倍数,21和14的公倍数中有84。

2. 解答本题如下:

6的倍数有6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96。

10的倍数有10,20,30,40,50,60,70,80,90。

6和10的公倍数有30,60,90。

6和10的最小公倍数是30。

3. 本题是求两个数的最小公倍数的基本练习。

2和8的最小公倍数是8;      3和8的最小公倍数是24;

6和15的最小公倍数是30;    6和9的最小公倍数是18;

4和5的最小公倍数是20;     1和7的最小公倍数是7;

4和10的最小公倍数是20;    8和10的最小公倍数是40。

完成后,可以把以上的题进行归类:

两个数有倍数关系:2和8,1和7。这时,较大的数是它们的最小公倍数。

两个数只有公因数1:3和8,4和5。这时,它们的乘积就是它们的最小公倍数。

一般情况:6和15,6和9,4和10,8和10。这时,就按求两个数的最小公倍数的一般方法解决。

4. 本题是求两个数的最小公倍数的实际应用。要求“至少多少天以后给这两种花同时浇水”,就是求4和6的最小公倍数,4和6的最小公倍数是12,所以,答案是12天。

5. (1)×   当两个数是倍数关系时,它们的最小公倍数是较大的数。

   (2)√   两个数的积分别是这两个数的倍数,也就是他它们的公倍数。

6. 要求“这块正方形布料的边长至少是多少厘米”就是求8和10的最小公倍数。8和10的最小公倍数是40,因此,答案是40厘米。

7. 本题是求两个数的最小公倍数的实际应用。要求“至少过多少分钟两路车才第二次同时发车”就是求6和8的最小公倍数。6和8的最小公倍数是24,所以答案是24分钟。

8. 本题有两个小题。

(1)3和4的最小公倍数是12,所以,至少12分钟后两人在起点再次相遇。

12÷4=3(圈),12÷3=4(圈),所以爸爸、妈妈分别跑了4圈和3圈。

(2)此题具有一定的开放性。可以提出以下问题:

妈妈和小红同时起跑,至少多少分钟后两人在起点再次相遇?

爸爸和小红同时起跑,至少多少分钟后两人在起点再次相遇?

爸爸、妈妈和小红同时起跑,至少多少分钟后三人在起点再次相遇?

9*. 本题是一道拓展题。可以这样思考:

①按从小到大的顺序写出36的所有因数:1,2,3,4,6,9,12,18,36。

②把36的所有的因数按一定的顺序进行选择,就可以得出所有的答案。

36和其它因数组合:36和1,36和2,36和3,36和4,…36和18。

其它因数组合:4和9,4和18,9和12,12和18。

                               通    分

学习内容

教科书第93——94页例3、例4,第94页的“做一做”,练习十八第1——3题。

学习目标

1. 在自主探索中理解通分的意义,并学会通分的方法。

2. 培养抽象、概括、迁移、类推能力。

3. 培养认真、仔细的良好的学习习惯,感受数学与现实生活的密切联系。

学习重点

理解通分的意义,探索出通分的方法。

学习难点

理解通分的道理。

教学过程

一、复习旧知

出示例3,学生比较3/10和7/10的大小。 

(1.根据分数的意义判断。把地球面积看作单位“1”,把它平均分成了10份,陆地只占3份,海洋占了7份。7份比3份大,所以 < 。2.根据分数单位来判断。 里面有3个 , 里面有7个 。所以 < 。)

再完成课本第93页上的第一行填空题,观察总结(  分母相同的分数,分子大的比较大。

分子相同的分数,分母小的比较大。)

二、 创设情景 揭示问题

师:上课前我在我们班做了一个小小的调查,调查了两位同学昨天做作业所用的时间,下面我用分数的形式表示出来,××同学用了5/6小时, ××同学用了4/5小时。他们谁用的时间多一些呢?你能运用所学的知识解决这个问题吗?

二、 解决问题 得出结论

1、 请同学们独立思考,可以拿出笔和纸来,动动脑的同时动动笔,看看能得出什么结论,待会儿我们来交流。

2、学生汇报。

3、    师:同学们运用自己的知识和智慧解决这个问题。有的把分数转化成小数,有的运用了画线段图的方法,有的把分数把转化成了整数,我们看这种方法,把怎样的分数转化成了怎样的分数就可以进行比较了。

 结合学生回答板书:

                  转  化

异分母的分数               同分母分数

4、揭示通分概念:把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。

师:这句话中强调了“和原来分数相等”这几个字,说说你对这几个字的理解。

进一步让学生认识到转化过程中,运用了分数的基本性质,从而达到了分母相同,分数大小不变的目的。

5、通分2/5和1/4。

(1) 学生独立练习,请不同做法的同学板演。

(2) 集体评议判断:这是通分吗?

6、判断:下面的通分对吗?为什么?

 (1)2/5=14/35   (2)4/5=16/20 (3)5/6=50/60

5/7=25/35        3/4=9/20      10/11=50/66  

 7、让我们再来观察刚才同学们的通分过程,原来的分母分别是5、4,这位同学呢,都转化成了分母是54的分数,这通分后公共的分母我们叫它公分母,也就是说这位同学用20做它们的公分母,这位同学呢,用40做它们的公分母。你认为哪种通分简单?为什么?

如果学生的意见不一,补充如果我们给17/18和11/12通分,你用哪个数来作它们的公分母?

得出:通分时,一般用几个分母的最小公倍数作公分母。

8、你能很快地运用找最小公倍数的方法找到他们的公分母吗?

5/6和7/8  3/7和4/9  1/3和1/12

9、通过刚才的学习,你想提醒大家在通分时要注意些什么?

  (通分与约分的比较。

(1)都是依据分数的基本性质。

(2)都要保持分数的大小不变。

通分和约分的不同点:

(1)约分可以只对一个分数进行,而通分至少要对两个分数进行;

(2)约分是对分数的分子、分母同时除以一个不等于0的数,而通分则是对分数的分子、分母同时乘一个不等于0的数;

(3)约分的结果是最简分数,通分的结果是同分母的分数。)

10、P104练一练。

学生独立完成。同学间互相批改。

三、         运用知识 解决问题

1、              P94“做一做”运用通分的方法比较下面每组中两个分数的大小。

独立解答,师生共同评议

2、 挑战自我

你能给3个分数通分吗?举个例子试试看。

五、课堂小结 谈谈收获

六、课堂作业:练习十八1.2

   练习十八接答

1. 答案是>,<,<,>。

2. 解答本题时,要先通分,再比较大小。答案是>,<,>,<。

第二组 和 ,化成同分子分数比较更简便一些,其余三组,均可以先通分,再比较大小。

3. 本题是把7个分数分别与 比较,并根据大于或小于 ,分成两类。答案为

大于 : , , , 。

小于 : , , 。

4. 本题就是比较 和 的大小。有两种思路:

思路一:把 和 通分。 = , = 。所以 > 。

思路二:因为 大于一半,可以直接得出: > 。

因为 > ,所以李叔叔的成绩更好一些。

5. 比较 和 的大小。先通分,再比较它们的大小。做法如下:

= , < ,所以 < 。由此得出:睡觉的时间多一些。

6. 本题涉及到三个分数比较大小,可以这样思考:

先比较 和 的大小。可以直接得出: > 。

再比较 和 的大小。先通分,然后比较大小。得出: > 。

最后得出: > > ,也就是亚洲的陆地面积最大,南美洲的陆地面积最小。

7. 本题涉及到可能性的大小。解答时不用计算数字“0”和数字“1”的卡片各有多少张,只要比较两个分数的大小就可以了。因为 > ,所以写有数字“0”的卡片多。

8. 本题是比较分数的大小在生活中的实际应用。可以先比较三个分数的大小。

先比较 和 的大小。可以直接得出: > 。

再比较 和 的大小。先通分,再比较大小。得出: < 。

最后得出: > > 。

因此,在购书时,科普类多进一些,童话类少进一些。

9*. 本题是一道拓展题,是比较三个分数大小的题目。

(1) 、 和 。

这三个分数的分母是倍数关系,可以直接确定它们的公分母是20。

= , = 。因此, < < 。

(2) 、 和 。

这三个分数的公分母是36。

= , = , = 。因此, < < 。

(3) 、 和 。

可以把它们化成带分数,再比较大小。

= , = , = 。因此, < < 。

10*. 本题综合应用了分数大小比较和分数基本性质两方面知识。解答此题有两种方法:

方法一:化成同分母的分数。 = , = ,但此时无法找到一个比 小,又比 大的分数。可以再把这两个分数的分子、分母分别乘2,得到 和 ,这时可以找到比 大,又比 小的 。如果把 和 的分子、分母同时乘上3,4,5……就可以在这两个分数之间找到两2个、3个或更多个比 大,又比 小的分数。如: 、 、 、 、 ……要注意化成最简分数。

方法二:化成分子、分母比较大但分子仍相同的分数。例如,分子、分母都乘上2,得到 = , = ,就可以发现在 和 之间还有一个分数 。同样,把 和 的分子、分母都乘上3、4、5……就可以在这两个分数之间找到2个、3个或更多个比 大,又比 小的分数

 

 

分数与小数的互化

学习内容

教科书第97——98页例1、例2,第97页和第98页的“做一做”,练习十九第1——3题。

学习目标

1. 理解和掌握分数和小数互化的方法,并熟练地把小数转化成分数,把分数转化成小数。

2. 培养迁移类推能力和学以致用的能力。

3. 渗透事物之间相互联系的思想和感悟转化的数学方法。

学习重点

理解和掌握分数和小数的互化的方法。

学习难点

沟通分数与小数的联系,深刻理解分数、小数的意义,熟练地进行分数与小数的互化。

教学过程

一、复习导课

在括号里填写合适的分数、小数 

 3分米=()米      100克=(  )千克   10厘米=(  )米

总结小数的位数与所改写的分数之间的关系。

二、利用迁移探究新知

1.出示例1 把一条3m长的绳子平均分成10段,每段长多少米?如果平均分成5段呢?(用分数和小数表示结果)

学生试算、板书

(方法一:  按小数除法的方法计算。3÷10=0.3(m)    3÷5=0.6(m)

  方法二:根据分数与除法的关系,用分数表示商。3÷10=(m)    3÷5= (m)

通过观察比较得出:0.3= ,0.6= 。)2.根据板书再次回忆、总结小数改写成分数的方法:

  小数实际上就是分母是10,100,1000…的分数的另一种表示形式,所以可以把小数直接写成分母是10,100,1000…的分数,再化简。小数的位数和化成分数的分母中1后面0的个数是有规律的,一位小数化成分数时,分母是1后面写1个0;两位小数化成分数时,分母是1后面写2个0;三位小数化成分数时,分母是1后面写3个0……把原来的小数去掉小数点做分子。

试一试: 

0.07=     0.24= =     0.123=

练习:第97页“做一做”

3.出示例2:把0.7、

  、0.25、

、 、 这6个数按从小到大的顺序排列起来。

学生讨论方法,关键解决把分数化成小数还是把小数化成分数,然后汇报总结:

  可以把上面的4个分数分成三组。

第一组是 和 。分母是10,100,1000。…的分数可以直接化成小数。=0.9, =0.43。

第二组是 。分母不是10,100,1000…的分数,但是分母25是100的因数,可以根据分数的基本性质把它化成分母是100的分数,再化成小数。= = =0.28。也可以直接用分子除以分母得到0.28。

第三组是 。分母不是10,100,1000…的分数,分母45又不是100,1000…的因数,就只能根据分数与除法的关系,用分数的分子除以分母的方法进行,除不尽时,要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。(本环节的教学要突出解题策略的多样化)

=11÷45≈0.24(保留两位小数)

通过探索,得出的正确答案是

( )<(0.25)<( )<()<(0.7)<( )

4.增加如何判断一个分数能否化成有限小数的方法:当分数的分母中只含有质因数2和5时,这个分数才能化成有限小数。(这个分数必须是最简分数)

5. 总结归纳

一般方法:分子÷分母(除不尽时按要求保留几位小数)

特殊方法:

1.分母是10,100,1000…时,直接写成小数。

2.分母是10,100,1000…的因数时,可化成分母是10,100,1000…的分数,再写成小数。

5.练习:第98页“做一做”

三、巩固练习

练习十九1.2.3

  难点点拨

1. 把小数化成分数时,忘记把结果化成最简分数。例如:0.25=, 不是最简分数,需要约分。正确答案是0.25= 。

2. 把分数化成小数时,无法判断这个分数能否化成有限小数。这时,要参考第100页的“你知道吗”先进行正确判断,再把分数化成小数。

练 习 十 九 解 答

1. 答案是0.3=,0.25= ,0.4= 。

2. 答案是(1)0.8里面有8个(十)分之一,表示(十)分之八,化成分数是。

(2)0.05里面有5个(百)分之一,表示(百)分之(五),化成分数是。

(3)0.007里面有7个(千)分之一,表示(千)分之(七),化成分数是。

(4)0.36里面有36个(百)分之一,表示(百)分之(三十六),化成分数是。

3. 本题有两种思路:可以把所有的小数都化成分数,也可以把所有的分数都化成小数。

0.6    0.03    0.45    3.25    0.18

 

                      。

4. 答案是 =0.31    =0.08    ≈0.233   ≈0.444    ≈0.833   

=0.22     =1.15

5. 答案依次是0.125             0.5    0.625    0.75   

6. 答案如下表。

 

用小数表示

用分数表示

40cm

( 0.4  )m

(    )m

150g

( 0.15 )kg

(   )kg

125cm2

( 1.25 )dm2

(   )dm2

3680dm3

( 3680.0 )dm3

( )dm3

说明:第4个小题对于学生来说,有一定的难度。所以建议做一定的修改。举例如下:

3680dm3=3.68m3= m3

7. 本题是小数、分数比较大小的应用。有两种思路:

思路一:把小数化成分数比较大小。0.9= = , = , > 所以0.9> 。

思路二:把分数化成小数比较大小。 ≈0.83,0.9>0.83,所以0.9> 。

不管用哪一种思路,都可以得出李阿姨比王叔叔打字快些。

8. 本题是比较大小的实际应用。题目具有一定的开放性。可以统一成以小时为单位的数,再比较。也可以统一成用分作单位的数,再比较。求时=?分,可以用60÷4,也可以由 = ,得到 时=15分。由此得出小林家离学校比较远些。

                               整 理 和 复 习

1. 本题是整理和复习分数的概念,主要是分数和分数单位的意义、分数与除法的关系。

(1)先解决书上的填空题。每段是这根木条的(根据分数的意义),每段长2÷4=0.5m= m(根据分数与除法的关系)。

(2)再回答书上的三个问题。

分数的意义:一个物体、一些物体等都可以看作一个整体,把这个整体平均分成若干份,这样的一份或几份都可以用分数来表示。

分数单位:分数单位就是把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数。

分数与除法的关系:分数的分子相当于除法中的被除数,分母相当于除数,分数值相当于除法的商。

2. 本题是整理分数的分类,即真分数、假分数、带分数的概念。可以先把7个分数分类。

真分数: , , 。它们的分子都比分母小,分数值小于1。

假分数: , , , 。它们的分子都等于或大于分母,分数值等于或大于1。其中 又叫带分数,由一个整数和一个真分数组合而成的,是分子大于分母的假分数的另一种书写形式。可以呈现分类的图示。

真分数           假分数        带分数

                               , ,      , ,   

 

3. 本题是整理和复习分数的基本性质及应用,包括约分、通分、和分数大小的比较。

(1)先复习分数的基本性质。分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变。这就是分数的基本性质。

(2)复习约分的意义。把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分。约分是分数基本性质的应用,是把分数的分子和分母同时除以一个非零的数,分数的大小不变。约分时,我们通常要把分数化简成最简分数为止。

(3)复习通分的意义。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母的分数,叫做通分。通分也是分数的基本性质的应用,是把分数的分子和分母同时乘上一个非零的数,分数的大小不变。通分时,要把两个分母的最小公倍数作公分母,别忘了分子和分母要同时乘相同的数。

(4)比较分数的大小。分母相同,分子大的分数较大;分子相同,分母大的分数较小;分子和分母都不相同的分数,可以先通分或约分再比较分数的大小。

<    >    <    > 。

4. 本题是整理和复习分数和小数的互化。

(1)复习分数和小数互化的方法。把小数化成分数的方法就是直接把小数写成分数,再化简;把分数化成小数的基本方法就是用分子除以分母。

(2)完成第4题。

      1                 6                    7                       1

0.2= =     0.24= =     0.035= =      0.125= =

      5                25                   200                      8

注意:能约分的要约分。

=0.15    =0.225    =2.4    ≈0.533

注意:不能化成有限小数的要根据要求按“四舍五入”法保留小数的位数。

练 习 二 十

1. 答案是(1) √   (2) ×   可以举反例说明。如 =1, >1。   (3) ×   假分数的分子都等于或大于分母。   (4) √   (5) √

2. 本题应用了分数的意义、分数与除法的关系及约分的知识。

(1)求“冰山露在水面上的体积占总体积的 ”可以根据分数的意义得出 ,然后约分为 ;也可以用除法计算,列式为100÷1000,再根据分数与除法的关系得出 ,然后约分为 。

(2)求“水面下的体积占总体积的 ”可以参照上题的方法,也可以用减法计算:1- = 。

3. 解答本题时要注意把分数约成最简分数。答案如下:

25cm= m            36dm2= m2

600g= kg           750ml= L

    0.28dm= dm        258cm3= dm3

4. 本题是分数的意义和分数大小比较的实际应用。

(1)先求出“五年级的近视人数占五年级总人数的几分之几”。根据分数的意义得出,约分为 。

(2)再求出“五年级一班的近视人数占五年级一班总人数的几分之几”。根据分数的意义得出,约分为 。

(3)比较和 的大小。有两种方法,可以先通分,再比较分数的大小。也可以用下面的方法:

1- = ,1- =, < ,所以 > 。

由此得出:五(1)班同学戴近视镜的情况比五年级的总体情况好一些。

5. 本题是求两个数的最大公因数的实际应用。“要使每个小组的人数相同”,每个小组的人数应是48和54的公因数,“每组最多有多少人”就是求48和54的最大公因数。48和54的最大公因数是6,所以,每组最多有6人。

6. 本题是比较分数大小的实际应用。

(1)先用分数表示每支铅笔的价格。0.9元=元,2÷3= (元),4÷5= (元)。

(2)比较、 和 的大小。可以先通分再比较大小;也可以这样比较:

1- = ,1- =,1- = 。 < < ,所以 > > 。

由此得出:第2种铅笔的价钱便宜些。

7*. 解题方法可以参考练习十八第10*题。

第一题的答案可以是 , , , , , ,……

第二题的答案可以是 , , , , , ,,……

8*. 是求两个数最小公倍数的实际应用。“如果都买小瓶装的,或者都买大瓶装的,都剩2元。”也就是李阿姨带的钱应比4和6的公倍数多2。“李阿姨至少带了多少钱”也就是比4和6的最小公倍数多2。4和6的最小公倍数是12,因此,李阿姨带的钱应是12+2=14(元)。

 

                           知识归类

                                    分数的产生

分数的意义      分数的意义

                                    分数与除法的关系

                                     真分数

  分数的分类                  分子是分母的倍数→整数

       分数的意义                   假分数

     和性质                                分子不是分母的倍数→带分数

                                          约分

                   分数的基本性质   应用

                                                通分

分数和小数的互化

一、分数的意义

内容

呈现形式

例  题  归  类

知识要点

分数的

产生

以主题图

引入

测量

分物体

在进行测量、分物或计算时,往往得不到整数的结果,这时常用分数来表示。

分数的

意义

分实物

引入

1.先分一个物体、一个计量单位。

2.再分一些物体。

3.分数单位。

分数的意义:一个物体、一些物体等都可以看作一个整体,把这个整体平均分成若干份,这样的一份或几份都可以用分数来表示。

一个整体可以用自然数1来表示,通常叫做单位“1”。

把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数叫做分数单位。

分数与除法的关系

分实物

引入

例1:1÷3=

例2:3÷4=

分数与除法的关系:

被除数÷除数=

a÷b= (b≠0)

二、分数的分类

内容

呈现

形式

例  题  归  类

知识要点

操作

引入

例1:

                            

分子比分母小的分数叫做真分数。真分数比1小。

操作

引入

分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。

假分数大于1或等于1。

分实物引入

像 , , ,…这样的分数叫带分数。带分数比1大。

把假分数化成整数或带分数

文字

呈现

例4:

(1) =4÷4=1     =8÷4=2

(2) =7÷3=    =6÷5= 。

用假分数的分子除以分母:

1、分子是分母倍数的,可以化成整数,商就是这个整数。

2、分子不是分母的倍数的,可以化成带分数,商是带分数的整数部分,余数是分数部分的分子,分母不变。

三、分数的基本性质

内容

呈现形式

例  题  归  类

知识要点

操作引入

例1:探索分数的基本性质

例2:分数的基本性质应用

= =

= =

分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变。这就是分数的基本性质。

在理解分数的基本性质时要注意三点:必须强调“同时”;必须强调“乘上或除以相同的数”;必须强调“0除外”。

 

 

 

 

情境引入

例1:最大公因数

 

 

例2:求最大公因数。

 

 

例3:最简分数

例4:约分及其方法

 

1、2、4是16和12公有的因数,叫做它们的公因数。其中,4是最大的公因数,叫做它们的最大公因数。

求两个数的最大公因数两种特殊情况:

1.当两数成倍数关系时,较小的数就是它们的最大公因数。

2.当两数只有公因数1时,它们的最大公因数是1。

分子和分母只有公约数1的分数,叫做最简分数。

把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分。

 

 

 

从具体问题引入

例1:最小公倍数

 

 

例2:求最小公倍数

 

 

 

 

例3:比较分数的大小

 

例4:通分及其方法

 

6,12,18,…是3和2公有的倍数,叫做它们的公倍数。其中,6是最小的公倍数,叫做它们的最小公倍数。

求两个数的最大公因数两种特殊情况:

1.当两个数是倍数关系时,较大的数是它们的最小公倍数。

2.当两个数只有公因数1时,它们的乘积就是它们的最小公倍数。

分母相同的分数,分子大的比较大。

分子相同的分数,分母大的比较小。

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母的分数,叫做通分。

四、分数和小数的互化。

内容

呈现

形式

例  题  归  类

知识要点

把小数化成分数

问题

引入

例1:0.3=

       3

     0.6= =                

           5

直接把小数写成分母是10,100,1000,…的分数,再化简。

把分数化成小数

问题

引入

例2:

( )<(0.25)<( )<( )<(0.7)<( )

一般方法:分子÷分母(除不尽时根据需要按“四舍五入”法保留几位小数)

特殊方法:

1.分母是10,100,1000,…时,直接写成小数。

2.分母是10,100,1000…的因数时,可化成分母是10,100,1000,…的分数,再写成小数。

 辅导纪录:有几位学生对最基本的通分、约分、分数和小数互化的方法还弄不明白,需要加强辅导,可以采用结对子的的方式,发挥小老师的作用,以带动后进生的提高。

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